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Vamos lá...

Passo 1) encontrar a equação da reta "r" que passa por A(2, 6) e C(8, 2):

| 2 6 1 | 2 6

| 8 2 1 | 8 2 = 0

| x y 1 | x y

(2*2*1 + 6*1*x + 1*8*y) - (1*2*x + 2*1*y + 6*8*1) = 0

(4 + 6x + 8y) - (2x + 2y + 48) = 0

"r": 4x + 6y - 44 = 0 (EQUAÇÃO GERAL)

Podemos reescrever a equação geral para encontrar a equação reduzida de "r":

6y = 44 - 4x

y = (-4/6)x + 44/6

"r": y = (-2/3)x + 22/3 (EQUAÇÃO REDUZIDA)

Logo, nós podemos concluir que o coeficiente angular da diagonal, que vamos chamar de "mr", é igual a -2/3

mr = -2/3 (COEFICIENTE ANGULAR DE "r")

Passo 2: encontrar o ponto médio do segmento de reta AC

Se A = (2, 6) e C = (8, 2), o ponto médio "M" será dado por:

M = (A + C)/2 = ((2, 6) + (8 ,2))/2

M = (5, 4)

Passo 3: encontrar a equação da reta PERPENDICULAR à reta "r", que vamos chamar de "s", e que passa sobre o ponto M = (5, 4):

a) encontrar o coeficiente angular de "s" (que vamos chamar de "ms"): se as retas são perpendiculares, sabemos que

mr * ms = -1

-2/3 * ms = -1

ms = -1/-2/3

ms = 3/2 (COEFICIENTE ANGULAR DE "s")

b) encontrar a equação da reta "s" sabendo que ela passa pelo ponto M = (5, 4)

"s": (y - ym) = ms*(x - xm)

(y - 4) = 3/2*(x - 5)

y - 4 = 3/2.x - 15/2

y = 3/2.x - 15/2 + 4

y = 3/2.x - 15/2 + 8/2

"s": y = 3/2.x - 7/2 (EQUAÇÃO REDUZIDA de "s")

Passo 4: encontrar a distância entre os pontos A e C

d = √(8 - 2)² + (2 - 6)²

d = √(6)² + (-4)²

d = √36 + 16

d = √52

d = 2√13

Portanto, a diagonal do quadrado mede 2√13.

Passo 5: sabendo que a METADE da diagonal mede 2√13/2 = √13, podemos encontrar os outros dois pontos que estamos procurando. Eles estão localizados sobre a reta "s" e DISTAM √13 do ponto médio M.

Vamos agora encontrar os pontos B e D:

(√13)² = (x - xm)² + (y - ym)²

13 = (x - 5)² + (y - 4)²

13 = x² - 10x + 25 + y² - 8y + 16

x² - 10x + y² - 8y + 28 = 0

Temos, portanto, um sistema de equações:

I) x² - 10x + y² - 8y + 28 = 0

II) y = 3/2.x - 7/2

Substituindo a equação II na equação I, temos:

x² - 10x + (3/2.x - 7/2)² - 8(3/2.x - 7/2) + 28 = 0

x² - 10x + 9/4.x² - 21/2.x + 49/4 - 12x + 28 + 28 = 0

13/4.x² + (-10 - 21/2 - 12).x + (49/4 + 56) = 0

13/4.x² - 65/2.x + 273/4 = 0 (divide-se tudo por 13 para simplificar)

1/4.x² - 5/2.x + 21/4 = 0 (multiplica-se tudo por 4 para simplificar)

x² - 10x + 21 = 0

Temos agora uma EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU.

Δ = (-10)² - 4*1*21

Δ = 100 - 84

Δ = 16

√Δ = 4

Logo,

x = (10 ± 4)/2

x1 = 7

x2 = 3

Portanto, lembrando que y = 3/2.x - 7/2, temos:

y1 = 3/2.x1 - 7/2 = 3/2.7 - 7/2

y1 = 7

y2 = 3/2.x2 - 7/2 = 3/2.3 - 7/2

y2 = 1

CONCLUSÃO

Os outros dois pontos são

B = (7, 7)

e

D = (3, 1)

Espero ter ajudado.

Abraços,

Rod