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A circunferência de comprimento 2pi metros é aquela que tem raio igual a 1 metro. (C = 2pi.r)

Supondo que o hexágono seja regular, teremos que a circunferência tangencia cada um dos lados do hexágono exatamente no ponto médio.

Portanto forma-se o seguinte triângulo retângulo: ponto médio de um lado - um dos vértices deste lado - centro da circunferência. Aplicando Pitágoras neste triângulo:

h² = (h/2)² + r² , sendo h o lado do hexágono.

h² = h²/4 + 1

3h²/4 = 1

h² = 4/3

h = 2.raiz(3)/3

A área do hexágono é então 6 . (h.r/2) = 6. [2.raiz(3)/3] / 2 = 2.raiz(3) m²

O quadrado inscrito em uma circunferência de raio 1, possui diagonal igual a 2. Chamando o lado do quadrado de q:

q² + q² = 2²

2q² = 4

q² = 2

A área do quadrado é, então, q² = 2m²

Portanto, a área entre o hexágono e o quadrado, mede área do hexágono - área do quadrado =

2.raiz(3) - 2 = 2.[raiz(3)-1] m²

(o que é aproximadamente 1,464m²)