Vamos lá.

Tem-se a seguinte matriz 3x3 (3 linhas e 3 colunas):

|1....2....3|

|0....x.....z|

|0....0.....y|

Com base na matriz acima, pede-se: calcule os elementos "x" e "y" da matriz, sabendo-se que o determinante dessa matriz é igual a "15" e que o seu traço é igual a "9".

i) Primeiro veja que o traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos da diagonal principal. E a diagonal principal da matriz acima é: "1", "x" e "y". Como o traço dessa matriz é igual a "9", então vamos fazer a soma dos elementos da diagonal principal e igualar essa soma a "9". Dessa forma fazemos:

1 + x + y = 9

x + y = 9 -- 1

x + y = 8 ---- isolando "x", temos:

x = 8 - y . (I)

ii) Agora vamos na matriz e vamos calcular o seu determinante (que é igual a "15"). Vamos colocá-la já na posição de desenvolvimento. Assim fazemos:

|1....2....3|1....2|

|0....x.....z|0....x| = 15 ------ desenvolvendo, temos:

|0....0.....y|0...0|

1*x*y + 2*z*0 + 3*0*0 - [0*x*3 + 0*z*1 + y*0*2] = 15

xy + 0 + 0 - [0 + 0 + 0] = 15

xy - [ 0 ] = 15

xy -- 0 = 15 , ou apenas:

xy = 15 . (II)

iii) Agora vamos na expressão (II) acima e, nela, substituiremos "x" por "8-y", conforme encontramos na expressão (I). Assim, repetindo a expressão (II):

xy = 15 ----- substituindo "x" por "8-y", temos;

(8--y)*y = 15

8y - y²= 15 ----- passando todo o 1º membro para o 2º, ficamos com:

0 = 15 - 8y + y² ----- vamos inverter e ordenar, com o que ficaremos:

y² - 8y + 15 = 0 ----- aplicando Bháskara, você vai encontrar as seguintes raízes:

y' = 3

y'' = 5

iv) Como já sabemos que "y" poderá ser igual a "3" ou igual a "5", então vamos na expressão (I) para encontrar o valor de "x".

A expressão (I) é esta:

x = 8 - y

iv.a) Para y = 3, teremos:

x = 8 - 3

x = 5

iv.b) Para y = 5, teremos:

x = 8 - 5

x = 3

iv.c) Assim, como você viu, se substituirmos o "y" por "3", encontramos x = 5; e se substituirmos o "y" por "5", encontramos x = 3.

Dessa forma, teremos que:

x = 3, quando "y" for igual a "5"

e

x = 5, quando "y" for igual a "3"

Portanto, a resposta será a que demos aí em cima, para "x" e para "'y"., ou seja, você poderia apresentar o conjunto-solução (x; y) da seguinte forma:

S = {3; 5}

ou

S = {5; 3)

Deu pra entender bem?

Ok?

Adjemir.