Como calcular o volume de um solido,por integral,de base eliptica limitada pela curva 9x^2+4y^2=36.As seções t?
transversais perpendiculares ao eixo x são triangulos isosceles retos com hipotenusa na base.
POR FAVOR AJUDEM!!NÃO PRECISA CALCULAR A INTEGRAL É SÓ MONTAR
Atualizada:A resposta é 24.
consegui o exercicio resolvido mas não entendi mesmo assim.
o autor falar que 2y=raiz(36-9x^2)
não entendi tbem de onde ele tirou
l^2+l^2=(2y)^2
dai v=2 integral(1/2LxL)=2integral(y^2)=2integral(1/4x(36-9x^2))
todas integras variam de 0 ate 2.
Por favor me ajude!!
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Observe:
http://img820.imageshack.us/f/trianguloisoscelesrc...
Solução:
9x² + 4y² = 36
4y² = 36 - 9x²
y² = (36 - 9x²)/4
y = ± √[ (36 - 9x²)/4 ]
y = ± (1/2).√(36 - 9x²) daí ,
y = (1/2).√(36 - 9x²)
Ou
2y = √(36 - 9x²) , ( hipotenusa )
Por outro lado, usando o teorema de pitágoras,temos:
L² + L² = ( 2y )²
2.L² = [ √(36 - 9x²) ]²
2L² = 36 - 9x²
L² = ( 36 - 9x² )/2
Mas, a área do triângulo isosceles reto é dado por:
A = ( B.H )/2
A(x) = ( L.L )/2
A(x) = L²/2
Então, podemos calcular o volume como sendo;
..........²
V = 2.∫A(x) .dx
........º
Obs. os integrantes vão de - 2 ≤ x ≤ 2 , porém ao multiplicarmos a integral por 2 ( já que o lado do sólido é igual ao o outro ) , fica 0 ≤ x ≤ 2 .
..........²
V = 2.∫( L² )/2 .dx
........º
Como L² = ( 36 - 9x² )/2, vem;
.......²
V = ∫ ( 36 - 9x² )/2 .dx
......º
................ ..................²
V = [ (36x/2) - (9x³/3.2) ]
................ ..................º
................ ...............²
V = [ (36x/2) - (3x³/2) ]
................ ...............º
V = (36.2/2) - (3.2³/2)
V = 36 - (3.4)
V = 36 - 12
R ▬▬▬► V = 24 u.v
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Piauí - Teresina , 05/04/2011
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