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=== Solução ===

A prova pedida é "se e somente se", ou seja equivalência.

Seja S a seqüencia:

S = { a(1), a(2), ... , a(n-1), a(n), a(n+1), ... }

Pede-se provar que:

S(PA) e S(PG) ↔ S(constante),

onde

S(PA) denota "S é uma PA",

S(PG) denota "S é uma PG" e

S(constante) denota "S é uma seqüencia constante".

A prova de S(constante) → S(PA) e S(PG) é trivial. Resta, portanto, provar que S(PA) e S(PG) → S(constante). Segue a prova:

O termo geral de uma PA, a(n), pode ser escrito como a média aritmética - e daí o nome da seqüencia - dos termos vizinhos (de fato, pode até ser escrito como a média aritmética dos termos equidistantes):

(1) a(n) = [a(n - 1) + a(n + 1)] / 2

O termo geral de uma PG, a(n), pode ser escrito como a média geométrica - e daí o nome da seqüencia - dos termos vizinhos (de fato, pode até ser escrito como a média geométrica dos termos equidistantes):

(2) a(n) = √[a(n - 1) • a(n + 1)]

Então, para uma seqüencia que é, ao mesmo tempo, uma PA e uma PG, vale a seguinte relação, obtida de (1) e (2):

(3) [a(n - 1) + a(n + 1)] / 2 = √[a(n - 1) • a(n + 1)]

Para simplificar a notação, faremos:

(4) a(n - 1) = x

(5) a(n + 1) = y

Aplicando (4) e (5) em (3), obtemos:

(6) (x + y) / 2 = √(xy)

Elevando (6) ao quadrado, simplificando e fatorando, obtemos:

(x + y)² / 4 = xy

(x + y)² = 4xy

x² + 2xy + y² = 4xy

x² - 2xy + y² = 0

(x - y)² = 0

x - y = 0

(7) x = y

Aplicando (4) e (5) de volta em (7), e calculando a(n) tanto por (2) quanto por (3) obtemos:

a(n - 1) = a(n) = a(n + 1)

Como se vê, para que a seqüencia seja simultaneamente uma PA e uma PG, é necessário que, para cada grupo de três termos subseqüentes, eles sejam iguais entre si.

Aplicando isto para (a1, a2, a3), depois para (a2, a3, a4) e assim sucessivamente, concluimos que a seqüencia inteira é formada de termos iguais.

Ou seja, S(PA) e S(PG) → S(constante).

q. e. d.

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Mestre Steiner:

Eu nunca havia me deparado com este problema. Tive a idéia do caminho para a prova lendo a página citada abaixo. Sua capacidade de fazer perguntas interessantes parece inesgotável!

Assim como numa progressão aritmética cada termo é a média aritmética de seus vizinhos e numa progressão geométrica cada termo é a média geométrica de seus vizinhos, o texto define uma progressão harmônica, onde, é claro, cada termo é a média harmônica de seus vizinhos.

Como as médias aritmética, geométrica e harmônica de dois números só coincidem se eles forem iguais, seus teorema pode ser extendido da seguinte forma:

Uma seqüencia é simultaneamente uma PA, uma PG e uma PH (progressão harmônica) se e somente se for uma seqüencia constante não-nula (pois a média harmônica exclui nulos).

a1 a2 ....an

é PA e PG

Logo existe uma razão r tal que ela é uma PA e uma razão q tal que ela é uma PG.

Sabemos que:

a2 = a1+r

a2 = a1*q

Logo:

a1+r = a1*q

r = a1*q - a1

r = a1(q-1) (1)

a3 = a1+2r = a1 + 2(a1(q-1)) = a1 + 2a1q - 2a1 = 2a1q - a1

a3 = a1*q²

Igualando:

a1*q² = 2a1q - a1

a1*q² - 2a1q + a1 = 0

Resolvendo a equação de 2º grau na variável q:

delta = b² - 4 a c = 4a1² - 4*a1*a1 = 0

q = -b/2a = 2a1/2a1 = 1

Logo temos que q deve ser 1.

Substituindo em (1)

r = a1(q-1) = a1 (1-1) = 0

Logo q deve ser 1 e r = 0 para satisfazer a condição da sequência ser uma PA e uma PG, sendo portanto uma sequência constante.

Kisses

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