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Primeiramente para entender continuidade, é preciso analisar graficamente uma função continua.

- Se um gráfico não apresentar "quebras" (um bolinha aberta) ou "saltos" (interrupções) (ex: quando for desenhar um gráfico e não precisar tirar a ponta do lápis do papel), essa função é continua.

Basicamente existe 3 requisitos para uma função ser continua :

1° - xo um ponto qualquer pertencer ao domínio da função:

ex: f(x) = x² - 9 / x + 3 , observe que o ponto xo = -3 não pertence ao domínio da função, já que se vc for substituir, o denominador irá zerar. Concluirmos que o ponto xo = -3 , não pertence ao domínio da função, ou seja, ela é descontínua em xo = -3.

2° - Existir o limite no ponto xo e com valor finito :

ex: f(x) = x+1 , x<2 | -x + 3 , x >2 | 0 , x = 2

Como podemos perceber , teremos que analisar o ponto xo = 2. Para isso teremos que saber o seus limites laterais. Para valores menores(esquerda) que 2, temos x + 1 , calculando o limite:

lim x + 1 = 3

x->2-

Para valores maiores(direita) de 2, temos -x + 3, calculando o limite:

lim - x + 3 = 1

x->2+

Como os limites laterais foram diferentes, não existirá o limite no ponto xo = 2, já que a condição essencial p/ que exista um limite é que os seus limites laterais sejam iguais. Concluirmos que a função é descontínua em xo = 2.

3° limite de uma função que tende a xo , seja igual a imagem de xo [f(xo)] :

ex : f(x) = x² - 9 / x - 3 , se x for diferente de 3 | 6 , se x = 3

Calculando os limites laterais de xo = 3 , vemos que eles são iguais:

lim f(x) = lim f(x)= lim f(x) = 6

x->3-.......x->3+....x->3

E a imagem de xo = 3 é 6.

Ou seja, f(x) é continua em xo = 3.

Analisando o exemplo que vc colocou :

y = x² + x - 6 / x² - 2x - 15

Separando numerador e denominador:

x² + x - 6 , tem como domínio os números reais

Como o denominador não pode zerar, temos que achar os zeros desse polinômio (x² - 2x - 15):

x² - 2x - 15 = 0

x' = 5 e x" = -3

O domínio dessa função será, o domínio do numerador , menos os zeros do denominador:

D = R - {-3 e 5}

A função é contínua em todo R , menos nos pontos x = -3 e x = 5

Se usamos por exemplo x = 5 , veremos que o limite x^2+x-6 / x^2-2x-15 será - infinito e + infinito para os limites laterais, ou seja, não existe limite nesse ponto, então a função é descontinua nesse ponto.Nesse caso, é uma descontinuidade INFINITA.

Funções racionais e descontínua, não há descontinuidade removível, já que no ponto, o a imagem será infinito, o que quer dizer que há uma assíntota neste ponto.

(H.B.) Se você não conseguiu sua resposta nesta seção, também pode tentar obte-la na seção "Ciências e Matemática" do YR.

Boa sorte...