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Antes de começarmos você deve ter em mente que

x . y = mmc(x;y) . mdc(x;y)

a) a . b = 4032 e mmc(a,b) = 336

Temos que:

a . b = mmc(a,b) . mdc(a,b)

4032 = 336 . mdc(a,b)

mdc(a,b) = 12

Ou seja, como o mdc deles é 12 eles são da forma 12c e 12d

Temos que mmc(12c,12d) = 12cd

Logo

12cd = 336

cd = 28

Donde surge que c = 7 e d = 4

Logo a = 12 . 7 = 54

b = 12 . 4 = 48

b) mdc(a,b)=8 e mmc(a,b)=560

a . b = 8 . 560

a = 8 e b = 560

c) a + b = 580 e

mmc(a,b)/mdc(a,b)=84

mmc(a,b)=84 . mdc(a,b)

a.b = mdc(a,(580-a)) . 84 . mdc(a,(580-a))

a.b = mdc(a;2a-580). 84 . mdc(a; 2a - 580)

a.b = mdc(2a-580; a-580) . 84 . mdc(2a-580; a-580)

a.b = mdc(a-580;a) . 84 . mdc(a-580;a)

a.b = mdc(a;580) . 84 . mdc(a;580)

b = 580 e a=0

Questão (a):

ab = mmc(a,b) x mdc(a,b)

4032 = 336 x mdc(a,b) → mdc(a,b) = 4032/336 → mdc(a,b) = 12

a/12 = p → a = 12.p

b/12 = q → b = 12.q

mmc(a,b) = 12.pq = 336 → pq = 336/12 → pq = 28

Temos, portanto, que separar 28 em dois fatores que sejam primos entre si (pois a existência de qualquer fator comum entre eles irá alterar o mdc(a,b).

Procuremos, pois, seus divisores:

28 = 2².7 → 1, 2, 4, 7, 14, 28

Pares que podemos formar → 1x28, 4x7 (pois o par 2x14 tem fator 2 em comum).

Sendo a=12.p e b=12.q, os possíveis valores para a,b são:

a = 12.1 = 12

b = 12.28 = 336

a = 12.4 = 48

b = 12.7 = 84

Os nºs procurados serão:

{12,336} ou {48,84}.

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Questão (b):

mdc(a,b)=8

mmc(a,b)=560

D = mdc

M = mmc

D(a,b) = 8

M(a,b) = 560

a = p.D

b = q.D

M = p.q.D

560 = p.q.(8)

p.q = 560/8

p.q = 70

Tem-se que encontrar valores para "p" e "q" que multiplicados entre si resultem em 70 e que sejam primos entre si, pois qualquer fator comum que contiverem irá alterar o já definido D(a,b).

Assim, iremos procurar os valores de "p" e "q" entre os pares de divisores de 70:

1.70, 2.35, 5.14, 7.10.

Como os elementos de cada um desses pares são todos primos entre si, então todos eles pertencem à solução da questão:

p = 1, 2, 5, 7

q = 70, 35, 14, 10

Logo,

a = p.D = 1.8, 2.8, 5.8, 7.8 → a = 8, 16, 40, 56

b = q.D = 70.8, 35.8, 14.8, 10.8 → b = 560, 280, 112, 80.

{a,b} = { (8,560) ; (16,280) ; (40,112) ; (56,80) }

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Questão (c):

a+b=580

mmc(a,b)/mdc(,b)=84

M = mmc

D = mdc

a = p.D

b = q.D

M = p.q.D

M/D = p.q = 84

a+b = p.D + q.D ........................ → (p+q).D = 580 ....... (i)

a.b = p.D x q.D → pq.D² = 84.D² → pq = 84 ................. (ii)

Observando as equações (i) e (ii), percebe-se que os fatores que deverão compor o produto "pq" deverão ser divisores de 84, ao mesmo tempo que a soma de "p" com "q" deverá produzir um total que seja divisor de 580. Por outro lado, "p" e "q" deverão ser primos entre si, para não alterar o valor do mdc já definido (D).

Pares de divisores de 84 → 1.84, 2.42, 3.28, 4.21, 6.14, 7.12.

Desses, como já foi explicado, deveremos descartar os pares: 2.42 e 6.14 por conterem o fator primo 2 em comum; restarão, portanto, os seguintes pares:

1.84, 3.28, 4.21, 7.12, cujas somas (p+q) são:

85, 31, 25, 19 → (I)

Será que alguma(s) dessas somas são divisores de 580? Vejamos:

580 = 2².5.29 → Divisores:

1, 2, 4, 5, 10, 20, 29, 58, 116, 145, 290, 580 → (II)

Atentando para os elementos da lista (I), vemos que nenhum deles faz parte da lista (II).

Conclusão:

O problema não tem solução. Os dados são incompatíveis!

“Venham a mim todos vocês que estão cansados e sobrecarregados e eu os aliviarei.” – Jesus Cristo – Mateus 11:28