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A(-3, 1, -2)

B(-1, 2, 1)

r: x / 2 = z / -3; y = 4

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Se o plano passa por A e B, o vetor definido por estes pontos estará contido no plano. Definindo este vetor:

AB = B - A ⇒ (-1, 2, 1) - (-3, 1, -2) = (2, 1, 3)

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Se o plano é paralelo a reta 'r', uma nova reta de mesma direção de 'r' e que passa por A ou B, também estará contida no plano.

Vetor diretor de r ⇒ nr = (2, -3, 0). Criando as equações paramétricas desta reta com o ponto A:

.... { x = -3 + 2t

s : { y = 1 - 3t

.... { z = -2 + 0t

Definindo um novo ponto desta reta fazendo o parâmetro t = 1

x = -3 + 2 = -1

y = 1 - 3 = -2

z = -2

Então: C(-1, -2, -2)

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Criando um novo vetor AC agora (como A, B e C são pontos do plano, os vetores definidos por eles também estarão contidos no plano)

AC = C - A ⇒ (-1, -2, -2) - (-3, 1, -2) = (2, -3, 0)

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Como AB e AC são vetores contidos no plano, criar um vetor simultaneamente ortogonal a eles, que será o vetor normal do plano.

AB x AC

[i ... j ... k]

[2 .. 1 .. 3]

[2 . -3 .. 0] ⇒ (0 + 9)i - (0 - 6)j + (-6 - 2)k ⇒ 9i + 6j - 8k

Então, n = (9, 6, -8)

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Da equação geral do plano, têm-se que:

π : ax + by + cz + d = 0, onde (a, b, c) é o vetor normal do plano. Substituindo

π : 9x + 6y - 8z + d = 0 ⇒ Achar o valor de 'd', colocar algum dos pontos na equação. Utilizar o ponto A

9 . (-3) + 6 . 1 - 8 . (-2) + d = 0

-27 + 6 + 16 + d = 0

d - 5= 0

d = 5 ⇒ Substituindo

π : 9x + 6y - 8z + 5 = 0 ⇒ Resposta