(FGV-SP) Sabendo que o triângulo ABC de vértices A(2,3) B(k,-2) e C(7,5) é retângulo em A, calcule o valor de?
Estou com muita duvida para resolver esta questão, ja tentei diversas vezes mas não chuei na resposta, se alguem puder me ajudar fico grato. A resposta é k=4. Obrigado
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Verified answer
AB²=(2-k)²+(3+2)²= (2-k)²+25
AC²=(2-7)²+(3-5)²=25+4= 29
BC²=(k-7)²+(-2-5)²= (k-7)²+49
se é retângulo em A, então a hipotenusa é o oposto ao vértice A, será: BC
BC² = AB² + AC²
(k-7)²+49 = (2-k)²+25 + 29
k²-14k+49 +49 = 4 -4k+k² + 54
-14k+98=-4k+58
-14k+4k = 58 - 98
-10k = -40
k= 4 >
Através do Teorema de Pitágoras temos:
DCB² = DCA² + DBA²
â(XB-XC)² + (YB-YC)² = â(XC-XA)² + (YC-YA)² + â(XB-XA)² + (YB-YA)²
â(K-7)² + (-2-5)² = â(7-2)² + (5-3)² + â(K-2)² + (-2-3)²
[âK² -14K + 49 + 49 = â25+4 + âK²-4K+ 4 + 25]²
K² -14K + 98 = 29 + 29 -4K + K²
-14K + 98 = 58 - 4K
-14K + 4K = 58 - 98
-10K = -40
K = -40 / -10
K = 4
Abraços e bons estudos!
Se o triângulo é retângulo em A, quer dizer que a reta que passa pelos pontos A e B e a reta que passa pelos pontos A e C são perpendiculares, assim o coeficiente angular da segunda vezes o da primeira dá -1, ou seja: m*n=-1 ou n=-1/m
(r) => 3-(-2)=m(2-k) => 5=m(2-k)
(s) => 5-3= (-1/m)(7-2) => 2=-5/m
Logo, se: 2 = -5/m, então m=-5/2
Substituindo em (r), temos:
5=(2-k)(-5/2)
5*(-2/5)=2-k
2=k-2
k=4
Agradeço escolha como melhor resposta!
Espero ter ajudado.
AC e AB são os catetos e BC é a hipotenusa. Usando a fórmula de distância entre dois pontos:
(7-k)^2 + (5+2)^2 = [(7-2)^2 + (5-3)^2 + (2-k)^2 + (3+2)^2]
49 - 14k + k^2 + 49 = 25 + 4 + 4 - 4k + k^2 + 25
98 - 14k = 58 - 4k
-14k + 4k = 58 - 98
-10k = - 40
k = 4.