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Hola,

nota: siendo cotx = 1/tanx, arctan(1/x) es lo mismo que arccotx:

∫ arctan(1/x) dx = ∫ arccotx dx

integremos por partes, poniendo:

dx = dv → x = v

arccotx = u → [- 1 /(1 + x²)] dx = du

obteniendo:

∫ u dv = v u - ∫ v du

∫ arccotx dx = x arccotx - ∫ x [- 1 /(1 + x²)] dx =

x arccotx + ∫ [x /(1 + x²)] dx =

dividamos y multipliquemos la restante integral por 2 para obtener en el numerador la derivada del denominador:

x arccotx + (1/2) ∫ [2x /(1 + x²)] dx =

x arccotx + (1/2) ∫ d(1 + x²) /(1 + x²) =

x arccotx + (1/2) ln (1 + x²) + C

por tanto la respuesta es:

∫ arctan(1/x) dx = x arctan(1/x) + (1/2) ln (1 + x²) + C

espero haber sido de ayuda

¡Saludos!

∫tan⁻¹(1/x) dx

u = tan⁻¹(1/x)-------------> du = -(1/x²) / [1 + (1/x)²] dx = -1/ (1 + x²) dx

dv = dx---------------------> v = x

∫tan⁻¹(1/x) dx = xtan⁻¹(1/x) - ∫ -x/ (1 + x²) dx

∫tan⁻¹(1/x) dx = xtan⁻¹(1/x) + 1/2ln|1 + x²| + C