¿Integral Raiz (3-4x^2)?
Necesito por favor que me ayudéis con ésta integral en la que hay que hacer un cambio de variable, llevo dos horas intentando y no me sale, explicármelo por favor por pasos, muchas gracias,
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olaz
cambio
x = (√3/2) sen t
dx = (√3/2) cos t dt
ademas
x^2 = [(√3/2) sen t ]^2
x^2 = (3/4) sen^2 t
3-4x^2 = 3 - 4(3/4)sen^2 t
3-4x^2 = 3 - 3sen^2 t
3-4x^2 = 3(1 - sen^2 t)=3 cos^2 t
reemplaza
∫√(3-4x^2) dx = ∫√(3 cos^2 t) (√3/2) cos t dt
∫√3 .(cos t).(√3/2). cos t dt
(3/2)∫cos^2 t dt
pero por angulo doble Cos 2t=2cos^2 t - 1
despeja coseno cuadrado cos^2 t =(1/2)(1+cos 2t)
aplica a la integral
(3/2)∫(1/2)(1+cos 2 t) dt
(3/4)∫(1+cos 2 t) dt
(3/4)∫dt + (3/4)∫cos 2t dt
=(3/4)t + (3/8)sen 2t + C
debes volver a la variable x
x = (√3/2) sen t
sen t = 2x/√3
luego cos^2 t = 1-sen^2 t= 1 -(2x/√3 )^2 = (3-4x^2)/(3)
cos t = √(3-4x^2)/√3
en la solucion sen 2t = 2sen t cos t
= (3/4) arctan[2x/√3 ] + (3/8) (2. 2x/√3 .√(3-4x^2)/√3 )
= (3/4) arctan[2x/√3 ] + (1/2) x.√(3-4x^2) + C
oki
bye!!