Sabe-se que, à medida que avançamos na seqüência dos números inteiros, os primos tornam-se cada vez mais raros. Isto levanta a questão:
O conjunto dos números primos seria finito ou infinito?
A resposta à questão é que o conjunto dos primos é infinito, um resultado conhecido desde a época do matemático grego Euclides. Podemos demonstrar da seguinte forma:
Suponha, por absurdo, que o número de primos seja finito e sejam p1,p2,p3,...,pn os primos. Seja P o número tal que
P = onde denota o produtório.
Se P é um número primo, é necessariamente diferente dos primos p1,p2,p3,...,pn, pois sua divisão por qualquer um deles tem um resto de 1.
Por outro lado, se P é composto, existe um número primo q tal que . Mas obviamente .Logo existe um novo número primo.
Há um novo número primo, seja P primo ou composto; este processo pode ser repetido indefinidamente, logo há um número infinito de números primos.
Uma outra prova envolve considerar um número inteiro n > 1. Temos n + 1 que, necessariamente, é coprimo de n (números coprimos são os que não têm nenhum fator comum maior do que 1). Provamos isto imaginando que a divisão do menor pelo maior tem resultado 0 e resto n e do maior pelo menor tem resultado 1 e resto 1. Assim, n(n + 1) tem, necessariamente, ao menos dois fatores primos.
Tomemos o sucessor deste, que representamos como n(n + 1) + 1. Pelo mesmo raciocínio, ele é coprimo a n(n + 1). Ao multiplicar os dois números, temos [n(n + 1)] * [n + (n + 1) + 1]. Como um de seus fatores tem pelo menos dois fatores primos diferentes e é coprimo ao outro, o resultado da multiplicação tem pelo menos três fatores primos distintos. Este raciocínio também pode ser infinitamente estendido.
A resposta para a segunda pergunta acima é que essa proporção é aproximadamente 1:ln(n), onde ln é o logaritmo natural.
Então (q + 1) não pode ser divisível por nenhum número primo (e por consequencia nenhum inteiro) menor que p já que se f for um fator de q e de (q + 1) significa f=1 e 1 não está na sequencia.
Se q+1 é divisivel por g => g>p e g é primo. Senão (q + 1) não tem fatores e é primo.
Mas isso contradiz a existência de p primo máximo. Absurdo.
São infinitos. Podemos provar isto por absurdo, ou seja, propor que os números primos são finitos e chegar à conclusão que a proposição é falsa.
Vamos supor que a seqüencia dos primos seja finita. Seja p1, p2, . .., pn a lista de todos os primos. Consideramos o numero R = p1. p2 . p3 . ... . pn+ 1. É claro que R não é divisível por nenhum dos p de nossa lista e que R é maior do que qualquer p. Mas sabemos que todo inteiro maior do que 1 pode ser representado de maneira (a menos de uma ordem) como um produto de fatores primos (pelo teorema fundamental da aritmética).
Dessa maneira, R é primo ou possui algum fator primo e isto implica na existência de um primo que não pertence à lista.
Portanto a seqüencia dos números primos não pode ser finita.
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Infinito. Porque ficariamos a vida toda escrevendo e nunca acabariam.
abraços
@
Sabe-se que, à medida que avançamos na seqüência dos números inteiros, os primos tornam-se cada vez mais raros. Isto levanta a questão:
O conjunto dos números primos seria finito ou infinito?
A resposta à questão é que o conjunto dos primos é infinito, um resultado conhecido desde a época do matemático grego Euclides. Podemos demonstrar da seguinte forma:
Suponha, por absurdo, que o número de primos seja finito e sejam p1,p2,p3,...,pn os primos. Seja P o número tal que
P = onde denota o produtório.
Se P é um número primo, é necessariamente diferente dos primos p1,p2,p3,...,pn, pois sua divisão por qualquer um deles tem um resto de 1.
Por outro lado, se P é composto, existe um número primo q tal que . Mas obviamente .Logo existe um novo número primo.
Há um novo número primo, seja P primo ou composto; este processo pode ser repetido indefinidamente, logo há um número infinito de números primos.
Uma outra prova envolve considerar um número inteiro n > 1. Temos n + 1 que, necessariamente, é coprimo de n (números coprimos são os que não têm nenhum fator comum maior do que 1). Provamos isto imaginando que a divisão do menor pelo maior tem resultado 0 e resto n e do maior pelo menor tem resultado 1 e resto 1. Assim, n(n + 1) tem, necessariamente, ao menos dois fatores primos.
Tomemos o sucessor deste, que representamos como n(n + 1) + 1. Pelo mesmo raciocínio, ele é coprimo a n(n + 1). Ao multiplicar os dois números, temos [n(n + 1)] * [n + (n + 1) + 1]. Como um de seus fatores tem pelo menos dois fatores primos diferentes e é coprimo ao outro, o resultado da multiplicação tem pelo menos três fatores primos distintos. Este raciocínio também pode ser infinitamente estendido.
A resposta para a segunda pergunta acima é que essa proporção é aproximadamente 1:ln(n), onde ln é o logaritmo natural.
Infinito, porque, suponhamos, que os números pares são balanças;
e todas as balanças estão equilibradas, com o mesmo peso.
Colocando-se mais um peso em qualquer balança, altera-se o equilíbrio.
Esse desequilíbrio chamara-se de números primos.
Mostro por contradição.
Suponha que seja finito.
Então existe um número p primo máximo
Considere a sequencia:
2,3,5,7,......,p formada somente por primos
Considere o produto q = 2*3*5*7*...*p
Então (q + 1) não pode ser divisível por nenhum número primo (e por consequencia nenhum inteiro) menor que p já que se f for um fator de q e de (q + 1) significa f=1 e 1 não está na sequencia.
Se q+1 é divisivel por g => g>p e g é primo. Senão (q + 1) não tem fatores e é primo.
Mas isso contradiz a existência de p primo máximo. Absurdo.
Então p não existe.
Assim o conjunto de primos é infinito.
São infinitos. Podemos provar isto por absurdo, ou seja, propor que os números primos são finitos e chegar à conclusão que a proposição é falsa.
Vamos supor que a seqüencia dos primos seja finita. Seja p1, p2, . .., pn a lista de todos os primos. Consideramos o numero R = p1. p2 . p3 . ... . pn+ 1. É claro que R não é divisível por nenhum dos p de nossa lista e que R é maior do que qualquer p. Mas sabemos que todo inteiro maior do que 1 pode ser representado de maneira (a menos de uma ordem) como um produto de fatores primos (pelo teorema fundamental da aritmética).
Dessa maneira, R é primo ou possui algum fator primo e isto implica na existência de um primo que não pertence à lista.
Portanto a seqüencia dos números primos não pode ser finita.
Infinito por que nunca achei um número que acabasse com os números primos
t digo q é finito por enquanto
pois computadores conseguiram achar o maior número primo q existe
ou seja, existe um fim (descoberto até agora).
infinito. por que todos os numeros são infinitos