Um número ao quadrado é ele multiplicado por ele mesmo: (esse "²" pequeno indica que o número está ao quadrado)
2² = 2x2 = 4
3² = 3x3 = 9
4² = 4x4 = 16
5² = 5x5 = 25
....
12² = 12x12 = 144
13² = 13x13 = 169
...até o infinito
Como pode ver, todos os números acima são naturais.
E mais, todos os resultados ali são quadrados perfeitos, ou seja, são o quadrado de algum número natural:
4 é o quadrado de 2
9 é o quadrado de 3
16 é o quadrado de 4
e assim vai.
--------------------------------------…
Outra forma de saber se o número é um quadrado perfeito é tirar a raiz quadrada dele. Se o resultado for um número natural, ele é um quadrado perfeito.
número quadrado perfeito é aquele que tem a raiz quadrada exata,exemplo, a raiz de 4 é 2,a raiz de 9 é 3 e assim por diante.Números que não tem a raiz quadrada perfeita são aqueles em que não há nenhum número elevado a dois (x²) quem tenha como resultado esse número,exemplo, 2,5,6,7,8.
Quadrado perfeito em matemática, sobretudo na aritmética e na teoria dos números, é um número inteiro não negativo que pode ser expresso como o quadrado de um outro número inteiro. Ex: 1, 4, 9
0 = 0² 36 = 6² 144 = 12²
1 = 1² 49 = 7² 169 = 13²
4 = 2² 64 = 8² 196 = 14²
9 = 3² 81 = 9² 225 = 15²
16 = 4² 100 = 10² 256 = 16²
25 = 5² 121 = 11² 289 = 17²
"Todo quadrado perfeito par, tem raiz par"
4, 16, 36, etc. são pares e possuem raiz par (2, 4, 6, ...).
PROVA: Suponhamos Q um "quadrado perfeito" (existe X inteiro tal que X2=Q) que seja número par, ou seja, existe um inteiro k tal que Q=2k. Assim temos X2=2k; logo a raiz de Q (ou seja X) é dada por . Como trata-se de uma relação de inteiros, 2k precisa ser também um quadrado perfeito, logo 2k é um inteiro, e para que seja uma quadrado per efeito requer k=2y^2, ou seja, , por tato um número par.
"Todo quadrado perfeito ímpar, tem raiz ímpar"
1, 9, 25, etc. são ímpares e possuem raiz ímpar (1, 3, 5, ...).
PROVA: como já provamos para o caso par, pode-se recorrer à prova por absurdo. Se sua raiz quadrada fosse par, o próprio número, contraria mente à hipótese, seria par.
As propriedades a seguir foram notadas antes do advento da calculadora eletrônica, e ajudavam a conhecer de antemão que certos números não são quadrados perfeitos. [1]
"Todo numero terminado em algarismos 2, 3, 7 ou 8, não é quadrado perfeito"
basta avaliar os exemplos acima e outros mais.
PROVA: o algarismo em que termina um quadrado representa as unidades de um produto de dois números iguais, isto é, o produto da raiz quadrada multi picada por si mesma. Ora o produto de dois números iguais acaba sempre em 1, 4, 5, 6, 9 ou 0. Portanto os números terminados em 2, 3, 7 ou 8 não são quadrados perfeitos, porque não podem ser o produto de dois números iguais.
"Todo numero par que não FOR divisível por 4, não é quadrado perfeito"
2, 6, 10, 14, ... não fazem parte da lista de quadrados perfeitos.
PROVA: Todo o numero par é divisível por 2, e se um número par for multiplicado por si mesmo, será divisível por 2, e por 2x2=4.
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Os números naturais são todos aqueles inteiros positivos (incluindo o zero):
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11.....até o infinito.
Um número ao quadrado é ele multiplicado por ele mesmo: (esse "²" pequeno indica que o número está ao quadrado)
2² = 2x2 = 4
3² = 3x3 = 9
4² = 4x4 = 16
5² = 5x5 = 25
....
12² = 12x12 = 144
13² = 13x13 = 169
...até o infinito
Como pode ver, todos os números acima são naturais.
E mais, todos os resultados ali são quadrados perfeitos, ou seja, são o quadrado de algum número natural:
4 é o quadrado de 2
9 é o quadrado de 3
16 é o quadrado de 4
e assim vai.
--------------------------------------…
Outra forma de saber se o número é um quadrado perfeito é tirar a raiz quadrada dele. Se o resultado for um número natural, ele é um quadrado perfeito.
número quadrado perfeito é aquele que tem a raiz quadrada exata,exemplo, a raiz de 4 é 2,a raiz de 9 é 3 e assim por diante.Números que não tem a raiz quadrada perfeita são aqueles em que não há nenhum número elevado a dois (x²) quem tenha como resultado esse número,exemplo, 2,5,6,7,8.
Que tem um único numero que multiplicado por ele mesmo dê um resultado, exemplo :
9x9=81. então 81 é um quadrado perfeito
7x7=49. 49 tbm é quadrado perfeito
numeros iguais multiplicados por ele mesmo que dê um resultado, esse resultado é um quadrado perfeito
35 não é quadrado perfeito pq ele nao tem um numero multiplicado por ele mesmo que dê 35
Quadrado perfeito em matemática, sobretudo na aritmética e na teoria dos números, é um número inteiro não negativo que pode ser expresso como o quadrado de um outro número inteiro. Ex: 1, 4, 9
0 = 0² 36 = 6² 144 = 12²
1 = 1² 49 = 7² 169 = 13²
4 = 2² 64 = 8² 196 = 14²
9 = 3² 81 = 9² 225 = 15²
16 = 4² 100 = 10² 256 = 16²
25 = 5² 121 = 11² 289 = 17²
"Todo quadrado perfeito par, tem raiz par"
4, 16, 36, etc. são pares e possuem raiz par (2, 4, 6, ...).
PROVA: Suponhamos Q um "quadrado perfeito" (existe X inteiro tal que X2=Q) que seja número par, ou seja, existe um inteiro k tal que Q=2k. Assim temos X2=2k; logo a raiz de Q (ou seja X) é dada por . Como trata-se de uma relação de inteiros, 2k precisa ser também um quadrado perfeito, logo 2k é um inteiro, e para que seja uma quadrado per efeito requer k=2y^2, ou seja, , por tato um número par.
"Todo quadrado perfeito ímpar, tem raiz ímpar"
1, 9, 25, etc. são ímpares e possuem raiz ímpar (1, 3, 5, ...).
PROVA: como já provamos para o caso par, pode-se recorrer à prova por absurdo. Se sua raiz quadrada fosse par, o próprio número, contraria mente à hipótese, seria par.
As propriedades a seguir foram notadas antes do advento da calculadora eletrônica, e ajudavam a conhecer de antemão que certos números não são quadrados perfeitos. [1]
"Todo numero terminado em algarismos 2, 3, 7 ou 8, não é quadrado perfeito"
basta avaliar os exemplos acima e outros mais.
PROVA: o algarismo em que termina um quadrado representa as unidades de um produto de dois números iguais, isto é, o produto da raiz quadrada multi picada por si mesma. Ora o produto de dois números iguais acaba sempre em 1, 4, 5, 6, 9 ou 0. Portanto os números terminados em 2, 3, 7 ou 8 não são quadrados perfeitos, porque não podem ser o produto de dois números iguais.
"Todo numero par que não FOR divisível por 4, não é quadrado perfeito"
2, 6, 10, 14, ... não fazem parte da lista de quadrados perfeitos.
PROVA: Todo o numero par é divisível por 2, e se um número par for multiplicado por si mesmo, será divisível por 2, e por 2x2=4.
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