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Primeiro um pouco de teoria:

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Toda PG segue um formato trivial, onde:

An = A1 * [ q ^ ( n - 1 ) ]

...sendo An um termo genérico qualquer,

A1 o primeiro termo da sua PG ,

q a razão da PG em si

e n o numero de termos entre o primeiro termo e o termo An

A fórmula da somatória da PG segue o seguinte formato:

Sn = { A1 * [ (q ^ n) - 1 ] } / ( q - 1 )

...sendo Sn a somatoria dos elementos de A1 a An

e os demais elementos ja explicitados na fórmula acima

É uma PG descrescente, ou seja, An > A(n+1) para QUALQUER que seja n

Explicitamente, isso significaria que A1 > A2 > A3 > ... > Ak

sendo k um substituto arbitrario para qualquer que seja o índice do último elemento dessa PG

e sendo q < 1 ( ja que ela É descrescente )

O OBJETIVO do problema é "achar a PG", ou seja, ele quer saber a razão dessa PG ( o termo "q" ) , que é o que realmente caracteriza qualquer tipo de PG e como no nosso caso, são apenas 4 termos, os mesmos explicitados também

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Vou resolver o problema de duas formas:

A primeira por "força bruta" mesmo

A segunda com uma estrategia matematica própria das PGs

A Segunda é MUITO mais simples

SOLUÇÃO 1 //-------------

Temos que a soma dos dois primeiros elementos é igual a 90, ou seja:

A1 + A2 = 90 >>equação1 ( vou chamar de eq1 )

E a soma dos últimos é 40, então:

Ak + A(k-1) = 40 >>equação2 ( eq2 )

COMO a nossa PG tem apenas 4 termos, fica meio óbvio supor que Ak = A4 e A(k-1) = A3, mas esse poderia não ser o caso

Se o número de termos não estivesse explicitado, seria necessario transforamr cada um dos termos "A2" , "Ak" e "A(k-1)" em funções de "A1" e "q" para um sistema de soluções de 2 equações e duas incognitas

E MAIS: Se a soma de termos fosse entre um número maior de termos ( por exemplo, a soma de A1 + A2 + A3 + ... etc , seria necessário utilizar-se da fórmula da somatória )

Sabendo disso tudo:

Ak + A(k-1) = 40

A4 + A3 = 40 >> nossa nova eq2

Voltando ao problema:

An = A1 * [ q ^ ( n - 1 ) ]

A2 = A1 * [ q ^ ( 2 - 1 ) ]

A2 = A1 * q

An = A1 * [ q ^ ( n - 1 ) ]

A3 = A1 * [ q ^ ( 3 - 1 ) ]

A3 = A1 * ( q ^ 2 )

An = A1 * [ q ^ ( n - 1 ) ]

A4 = A1 * [ q ^ ( 4 - 1 ) ]

A4 = A1 * ( q ^ 3 )

Substituindo "A2" , "A3" e "A4" acima encontrados nas equações eq1 e eq2:

A1 + A2 = 90

A1 + ( A1 * q ) = 90

A1 ( 1 + q ) = 90

A1 = 90 / ( 1 + q ) >> eq3

A4 + A3 = 40

[ A1 * ( q ^ 3 ) ] + [ A1 * ( q ^ 2 ) ] = 40

A1 * [ ( q ^ 3 ) + ( q ^ 2 ) ] = 40

A1 = 40 / [ ( q ^ 3 ) + ( q ^ 2 ) ] >>eq4

Igualando eq3 e eq4 em "A1", temos:

40 / [ ( q ^ 3 ) + ( q ^ 2 ) ] = 90 / ( 1 + q )

[ 9 * ( q ^ 3 ) ] + [ 9 * ( q ^ 2 ) ] - [ 4 * q ] - 4 = 0

Temos uma equação cúbica de formato ax³ + bx² + cx¹ + d = 0

E agora é aquele momento escroto la que eu falei

Vou usar o "Método de Cardano" para resolver essa equação

O metodo é complicado e fica fora do escopo da explicação desse problema, mas ele resulta em 3 raízes ( todas reais no caso )

q1 = 2 / 3 , ( aprox 0,6666.... )

q2 = - 1

q3 = - 2 / 3 , ( aprox -0,6666.... )

De cara ja podemos descartar q2 , ja que q2 representaria uma razão constante e portanto, a PG não seria decrescente como o problema supôe

"q3" também não parece ser uma alternativa muito boa, tendo em vista que os termos da nossa PG alternariam, ou seja ( A1 positivo, A2 negativo, A3 positivo e A4 negativo ) e portanto, não seria uma PG

Substituindo q1 em eq3:

A1 = 90 / ( 1 + q )

A1 = 90 / [ 1 + ( 2 / 3 ) ]

A1 = 54

...e o nosso nosso valor de "A1" acima encontrado em termos de "A2":

A2 = A1 * q

A2 = 54 * ( 2 / 3)

A2 = 36

...e a mesma coisa para A3 e A4:

A3 = A1 * ( q ^ 2 )

A3 = 54 * [ ( 2 / 3 ) ^ 2 ]

A3 = 54 * ( 4 / 9 )

A3 = 24

A4 = 54 * ( q ^ 3 )

A4 = 54 * [ ( 2 / 3 ) ^ 3 ]

A4 = 54 * ( 8 / 27 )

A4 = 16

Os termos da nossa PG são portanto:

{ 54, 36, 24, 16 }

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SOLUÇÃO 2 //-------------

Extremamente mais simples, ela se vale de uma sobreposição por substutição entre as funções originais. Nominalmente:

A1 + ( A1 * q ) = 90 >>primeira

e

[ A1 * ( q ^ 3 ) ] + [ A1 * ( q ^ 2 ) ] = 40 >>segunda

A partir da segunda:

[ A1 * ( q ^ 3 ) ] + [ A1 * ( q ^ 2 ) ] = 40

( q ^ 2 ) * { [ A1 * q ] + A1 ] } = 40

vemos então, que colocando o termo "q ^ 2" em evidencia, observamos o aparecimento da estrutura completa da primeira função ( que é igual à constante 90, no caso )

Tal fenômeno ocorre em qualquer tipo de PG e pode ser usado em situações parecidas

continuando...

substituindo a primeira na segunda:

( q ^ 2 ) * { [ A1 * q ] + A1 ] } = 40

( q ^ 2 ) * 90= 40

q ^2 = 40 / 90

q = 2 / 3

e os termos: { 54, 36, 24, 16 }

u1 + u1*q = 90

u1*q² + u1*q³ = 40

q²*(u1 + u1*q) = 40

q²*90 = 40

q² = 40/90 = 4/9

q = 2/3

u1 + u1*2/3 = 90

3u1 + 2u1 = 270

5u1 = 270

u1 = 54

PG = { 54, 36, 24, 16 }

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