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Vamos lá.

Sônia, vamos ver passo a passo.

Estamos querendo o número de algarismo necessário para se escrever todos os números pares compreendidos entre 33 e 598.

Veja que estamos querendo os números pares. Então o primeiro número par, logo após o 33, é o número 34. Assim, o 34 vai ser o primeiro termo (a1) de uma PA que vamos formar até o número 98. Por que isso? Porque de 34 a 98 nós temos números formados por apenas 2 algarismos.

Depois, de 100 a 598 nós teremos números formados por 3 algarismos.

Vamos nos deter na nossa PA, que irá de 34 até 98. Assim, teríamos uma PA com a seguinte conformação:

(34, 36, 38, 40..........98)

Veja que se trata de uma PA de primerio termo (a1) igual a 34, de último termo igual a 98 e de razão igual a 2, pois os números pares têm uma diferença de "2" unidades entre um número e seu sucessor.

Vamos, então, pela fórmula do "an", calcular o número de termos que existe entre 34 e 98:

an = a1 + (n-1)*r ----- fazendo as devidas substituições, temos:

98 = 34 + (n-1)*2

98 = 34 + 2n - 2

98 = 32 + 2n

98 - 32 = 2n

66 = 2n , ou , invertendo:

2n = 66

n = 66/2

n = 33 <----Essa é a quantidade de números pares entre 34 a 98.

Ora, como cada número, entre 34 e 98, tem 2 algarismos, então a quantidade de algarismos será de:

quantidade algarismos de 34 a 98: 2*33 = 66 algarimos . (I)

Agora vamos para para os números pares entre 100 e 598. Esta segunda PA terá a seguinte conformação:

(100, 102, 104, 106, .......596) <--Veja que o 598 é o limite superior. Logo ele não entra. O último termo será o 596 e assim temos a quantidade de números entre 100 (inclusive) e 598 (exclusive).

Veja que se trata de uma PA, cujo primeiro termo é 100, cujo último termo é 596 e cuja razão é igual a 2, pois se trata de números pares.

Vamos, a exemplo do que fizemos anteriormente, aplicar a fórmula do "an" para encontrar o número de termos existentes entre 100 e 598. Assim:

an = a1 + (n-1)*r -----fazendo as devidas substituições, temos:

596 = 100 + (n-1)*2

596 = 100 + 2n - 2

596 = 98 + 2n

596 - 98 = 2n

498 = 2n , ou , invertendo:

2n = 498

n = 498/2

n = 249 <---Essa é a quantidade de números pares entre 100 (inclusive) e 598 (exclusive).

Ora, como cada número, entre 100 e 598, tem 3 algarismos, então a quantidade de algarismos será de:

quantidade algarismos de 100 a 598: 3*249 = 747 algarimos . (II)

Agora é só somar (I) + (II) e encontraremos a quantidade total de algarismos. Assim:

66 + 747 = 813 algarismos <----Pronto. Essa é a resposta. Essa é a quantidade total de algarismos necessários para se escrever os números pares de 33 a 598.

É isso aí.

OK?

Adjemir.

Vamos em 1º lugar calcular o nº de algarismos até 98

Progressão aritmética de razão 2

(34; 36; .....; 98)

an = a1 + (n-1) r

98 = 34 + (n-1) 2

98 = 34 + 2n - 2

2n = 98 - 34 + 2

2n = 66

n = 33 termos

33 x 2 = 66 (Nº de algarismos até 98)

Agora vamos ver de 100 a 598, mas a questão diz "entre 598", portanto o 598 é excluido e passa-se para 596

(100; 102; .....; 596)

an = a1 + (n-1) r

596 = 100 + (n-1) 2

596 = 100 + 2n - 2

2n = 596 - 100 + 2

2n = 498

n = 249 (Nº de termos com 3 algarismos)

249 x 3 = 747 ( Nº de algarismos desde 100 até 596)

Total: 66 + 747 = 813

Sim, confere. São 813 porque é ENTRE e não inclui 598. São 33 números com dois algarismos e 249 números com três algarismos.

A mim deu-me: 566

Tendo em conta que Um número inteiro qualquer é dito par se, ao ser dividido pelo número dois, resulta em um número inteiro, caso contrário esse número é dito ímpar.

É uma pegadinha leia com muita atenção

isso é uma PA onde:

a1 =34 (34 é o primeiro numero par depois de 33)

an = 598

r = 2 (pois os pares são multiplos de 2)

an = a1+r (n -1)

an = 34 + 2(n - 1)

598 = 34 + 2n - 2

598 = 32 + 2n

- 2n = 32 - 598

- 2n = -566

n = 283 termos

então a resposta do livro está errada