Problema di trigonometria!!!!!!!!HELP!?
Il testo è il seguente" Nel triangolo ABC rettangolo in A si sa che AB=3 e BC=5.Siano D un punto di AC tale che tg dell angolo ABD = 2/3 ed E il punto di BC tale che risulti che l angolo EDC=2ABD. Trovare il perimetro e l area del triangolo EDC" Essendo un problema di trigonometria risolvetelo in modo trigonometrico e non come se fosse un problema di geometria analitica. Ditemi anche quanto è difficile questo problema di trigonometria secondo voi da 0 a 10. Le soluzioni sono Perimetro EDC=36/7 Area EDC=8/7
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La difficoltà del problema e' poca anche se ovviamente ci vuole un po' d'occhio.
Darei al problema una difficolta' 5 ma solo per la lunghezza.
chiamiamo a il lato lungo 3 AB e b il lato lungo 5 BC
Intanto puoi calcolare tutti gli angoli facilmente
chiamando θ ABD , BAD=Pi/2 , BDA=Pi/2-θ , BDE =BDA dato che EDC= 2*θ , ecc...
fatto questo e' altrettanto facile trovare tutti i segmenti.
AC con Pitagora √(b^2-a^2)
BD=a/cos(θ)
AD=a*tan(θ)
DC=AC-AD=√(b^2-a^2)-a*tan(θ)
ecc..
il procedimento poi e' solo lungo ma elementare.
del triangolo BDE conosci tutti gli angoli e il lato BD , col teorema di Carnot o quello dei seni ti calcoli DE.
fatto questo del triangolo DEC conosci tutti gli angoli e il lato DE.. ti calcoli con lo stesso sitema glia altri due lati e sei a posto.
Tutti questi calcoli vengono semplificati molto dal fatto che la tangente dell'angolo ABD sia 2/3
in questo caso sappiamo che
sin(atan(2/3)) = 2/√13
cos(atan(2/3)) = 3/√13
tan(atan(2/3)) = 2/3
percui possiamo calcolare tutti i lati senza dover semplificare manualmente le funzioni trigonometriche.
Nello specifico del triangolo EDC
il lato ED = 13·a/12 - 169a^2/(12(12·√(b^2 - a^2) + 5·a)) = 26/21
il lato DC = √(b^2 - a^2) - 2·a/3 = 2
il lato EC = ... = 40/21
perimetro=36/7 area=8/7
Un disegno:
http://imageshack.us/f/821/schermata20110918a20420...
Sappiamo che l'ipotenusa è 5
sen(a)=3/5
cos(a)=4/5
Prima cosa troviamo AD:
tg(b)=2/3= AD/AB
AD=2/3 AB= 2.
DB=rad( (i*sen(b))^2 +(i*cos(b))^2)= rad(4+9)= rad(13).
sen(b)= 2/rad(13)
cos(b)= 3/rad(13).
Possiamo trovare quanto valgono seno e coseno di 2b
sen(2b)= 2*sen(b)cos(b)= 12/13
cos(2b)= cos^2(b) - sen^2(b)= 5/13.
Troviamoci i seni e coseni dell'angolo in E:
sen(180°- 2b)= sen(2b)=12/13
cos(180°- 2b)= -cos(2b)=-5/13
sen(180°-2b-a)= 12/13 *4/5 + 5/13*3/5= 63/65
cos(180°-2b-a)= 12/13*3/5 - 5/13*4/5= 16/65.
Sai il teorema dei seni?
Se si:
CE= CD*sen(2b)/sen(c)= 2* 12/13 * 65/63= 2*4*5/21=40/21
DE= CD*sen(a)/sen(c)= 2* 3/5* 65/63= 26/21
Perimetro:
p= 2+ 40/21+26/21= 36/7.
A= DC*sen(2b)*DE/2= 12/13* 26/21= 8/7.
Se non sai il teorema dei seni:
Chiami x CE e y DE:
x*sen(c)= DC*sen(2b)
x= 2*sen(2b)/sen(c)= 40/21
y*sen(c)= DC*sen(a)
y= 2sen(a)/sen(c)= 26/21.
Perimetro:
p= 2+ 40/21+26/21= 36/7.
A= DC*sen(2b)*DE/2= 12/13* 26/21= 8/7.
Mi sembra difficile almeno 6 su 10 :D