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Oi!

Esses limites são interessantes, especialmente o primeiro.

Acho que podemos resolver da seguinte forma:

1) limite (1+cos(x))^(1/cos(x)) quando x tende a 3pi/2

lim[x-->3pi/2] (1+cos(x))^(1/cos(x)) -------------> vou abreviar lim[x-->3pi/2] por apenas lim

lim(1+cos(x))^(1/cos(x)) = y -----------------> chamei o limite de y

lim ln[(1+cos(x))^(1/cos(x)) ] = ln[y] --------> apliquei a função ln nos dois lados

lim (1/cos(x))*ln[1+ cos(x)] = ln[y] -------------> propriedade dos logaritmos

lim {ln[1 + cos(x)]}/cos(x) = ln[y] ------> apenas rearranjando o primeiro termo

Observe que quando x tende a 3pi/2, o lado esquerdo da igualdade fica "0/0", pois ln[1]=0 e cos(3pi/2) = 0. Então, podemos utilizar L'Hospital, derivando o numerados e o denominador.

lim {-sen(x)/(1+cos(x))}/{(-sen(x))} = ln[y]

lim 1/(1 + cos(x)) = ln[y] -----------> simplificando a igualdade, eliminado -sen(x)

Agora, podemos apenas substituir os valores de x por 3pi/2

1/(1 + 0) = ln[y]

1 = ln [y]

y = e^1 -----------> função inversa

y = e

lim[x-->3pi/2] (1+cos(x))^(1/cos(x)) = e

2) limite (e^(-ax) - e^(-bx))/(sen ax - sen bx) quando x tende a 0

lim[x-->0] (e^(-ax) - e^(-bx))/(sen ax - sen bx)

lim (e^(-ax) - e^(-bx))/(sen ax - sen bx) ----> resumi lim[x-->0] por apenas lim

Se substituirmos x por 0, teremos que o limite a cima é da forma "0/0", já que e^0 = 1 e sen(0) = 0

Podemos então usar l'Hospital, derivando o numerador e denominador

lim (-a*e^(-ax) + b*e^(-bx)) / (a*cos(ax) - b*cos(bx))

Substituindo x por 0, lembrando que cos(0) = 1

= (-a*1 + b*1)/(a*1 - b*1)

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lim (e^(-ax) - e^(-bx))/(sen ax - sen bx) = (b - a)/(a - b)

Entendeu? Bons estudos

limite (1+cosx)^1/cosx quando x tende a 3x/2