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A resolução de uma equação de terceiro grau não é conteúdo do ensino Fundamental/Médio e não é necessária para a resolução do restante do problema.

Para uma equação de grau 3 na forma ax³ + bx² + cx + d = 0 com raízes r1, r2 e r3, as relações de Girard são tais que:

r1 + r2 + r3 = -b/a

r1*r2 + r1*r3 + r2*r3 = c/a

r1*r2*r3 = -d/a

Nesse caso, tem-se:

a = 1

b = -2

c = 3

d = -4

Logo,

r1 + r2 + r3 = -(-2)/1 = 2

r1*r2 + r1*r3 + r2*r3 = 3/1 = 3

r1*r2*r3 = -(-4)/1 = 4

a). O resultado a seguir é um conhecido produto notável:

(r1 + r2 + r3)² = r1² + r2² + r3³ + 2(r1*r2 + r1*r3 + r2*r3)

Logo,

r1² + r2² + r3³ = (r1 + r2 + r3)² - 2(r1*r2 + r1*r3 + r2*r3)

Mas,

r1 + r2 + r3 = -(-2)/1 = 2

r1*r2 + r1*r3 + r2*r = 3/1 = 3

Portanto,

r1² + r2² + r3² = 2² - 2*3 = 4 - 2*3 = -2

Obs.: A soma dos quadrados das raízes é um número negativo, o que só é possível caso haja um par de raízes complexas.

b). 1/r1 + 1/r2 + 1/r3 = (r2*r3 + r1*r3 + r1*r2) / r1*r2*r3

Mas,

r1*r2 + r1*r3 + r2*r3 = 3/1 = 3

r1*r2*r3 = -(-4)/1 = 4

Logo,

1/r1 + 1/r2 + 1/r3 = 3/4

c). (r1 +r2 + r3)³ = 2³ = 8

Obs. 2: É bom dar uma 'googlada' em relações de Girard, pois elas são muito úteis e generalizáveis para polinômios de qualquer ordem.

Soma das raízes:

S=x1+x2+x3 =-(-2)/1 = 2

Soma dos produtos das raízes 2 a 2

S2,2 =x1.x2+x1.x3+x2.x3 = 3/1 = 3

Produto das raízes:

x1.x2.x3 =-(-4)/1 = +4

a)

(x1+x2+x3)²=x1²+x2²+x3²+2(x1.x2+x1.x3+x2.x3)

Daí:

x1²+x2²+x3²= (x1+x2+x3)²-2(x1.x2+x1.x3+x2.x3)

=(2)²-2(3) =4-6 = -2

b)

1/x1+1/x2+1/x3 =(x2x3+x1x3+x1x2)/x1.x2.x3

=3/4

c)

(x1+x2+x3)³ =2³ =8

Entendido?

Até!