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Amigos , isto são vectores e produto escalar , e não comprimentos de lados e produto de números reais.

Para não lançar a confusão , convém , ou escrever as setinhas em cima dos vectores (sei que é muito difícil aqui no YR , que infelizmente tem poucos recursos matemáticos no que respeita a notação , mais a infame formatação que arrasta tudo para a esquerda) , ou salientar , de preferência com letras maiúsculas , que são VECTORES :)))

1 a) AC . BD = 0 porque AC e BD são ortogonais (perpendiculares)

b) AB . DC = |AB| |DC| cos α , onde α é o ângulo formado por AB e DC

Mas repara que AB e DC são paralelos e têm o mesmo sentido , logo formam um ângulo de 0º

AB.DC = 2 . 2 . cos 0 = 4

c) BC . DA = ?

Nota agora que BC e DA são também paralelos , mas têm sentidos opostos , logo formam um ângulo de 180º

BC.DA = 2.2. cos 180º = 4.(-1) = -4

2) Verdade , no círculo trigonométrico cos 0º é a abcissa x do ponto (1,0)

3) |u+v| = √ ( |u|² + 2 u.v + |v|² )

u.v = |u| |v| cos 60º = 4.3.(1/2) = 6

Portanto |u+v| = √ ( 4² + 2 . 6 + 3² ) = √(16+12+9) = √37

|u-v| = √ ( |u|² - 2 u.v + |v|² ) = √ ( 4² - 2.6 + 3² ) = √(16-12+9) = √13

(u+v).(u-v) = u.u - v.v = |u|² - |v|² = 4² - 3² = 7

4) a) l(2u-v).(u-2v)l = | 2 u.u -4 u.v -v.u +2 v.v | = | 2 u.u -5 u.v +2 v.v |

Ora u.u = |u|² = √2² = 2

v.v = |v|² = 3² = 9

u.v = |u| |v| cos (3π/4) = √2 . 3 . (-√2/2) = -3

Logo | 2 u.u -5 u.v +2 v.v | = | 2.2 -5.(-3) +2.9 | = |37| = 37

b) |u-2v| = √ (u-2v)(u-2v) = √ (u.u -2u.v -2v.u +4 v.v) = √(u.u -4u.v +4v.v)

= √(2 -4.(-3) +4.9) = √(2+12+36) = √50

5) u . v = | u | | v | cos α

u.v = (1,-2,1) (-1,1,0) = 1.(-1) -2.1 +1.0 = -3

| u | = √ (1²+(-2)²+1²) = √6

| v | = √ ((-1)²+1²+0²) = √2

Então -3 = √6 √2 cos α

cos α = -3/√12 = -3 / 2√3 = -3√3 / 2√3√3 = -3√3 / 2.3 = -√3 /2

donde α = 180º -30º = 150º

6) u . v = | u | | v | cos 120º

u . v = (1,-2,1) ( -2,1,m+1) = -2 -2 +m+1 = m-3

| u | = √ (1²+(-2)²+1²) = √6

| v | = √ ((-2)²+1²+(m+1)²) = √ ( 5 +m²+2m+1) = √ (m²+2m+6)

cos 120º = cos (180-60) = -cos 60 = -1/2

m-3 = √6 √(m²+2m+6) (-1/2)

elevando ambos os membros da equação ao quadrado .

(m-3)² = 6 (m²+2m+6) (1/4)

m²-6m+9 = (6m²+12m+36) / 4

4m²-24m+36 = 6m²+12m+36

-2m²-36m = 0

-2m ( m+18) = 0

-2m = 0 ou m+18 = 0

m = 0 ou m = -18

Ao contrário do que parecia , os gabaritos estão todos absolutamente correctos :)))

Olá!

1-) Seja O o encontro das diagonais.

Do triângulo ABO, temos:

sen30° = (BD/2)/2 = BD/4

BD = 2

cos30° = (AC/2)/2

AC = 2√3

Logo:

BD.AC = 4√3

e-) Como é um losango, os 4 lados são iguais:

AB.DC = 4

f-) Idem ao anterior.

BC.DA = 4

2-) Sim.

3-) Pela regra do paralelogramo, o vetor u+v é a diagonal maior do paralelogramo e o vetor u-v é a diagonal menor. Aplicando a lei dos cossenos:

|u+v|² =|u|² + |v|² - 2|u|.|v|cos120°

|u+v|² = 16 + 9 + 12

|u+v| = √37

Analogamente:

|u-v| = √13

O produto escalar entre (u + v) e (u - v) é:

(u+v).(u-v) = |u+v|.|u-v| = √37 . √13 . cos60° = (√481)/2

A quarta questão é análoga à terceira.

Obs.: Confira esses gabaritos! Estão quase todos absurdamente errados. Como o produto de dois lados vai dar 0?? Ou pior, um número negtivo!?

Espero ter ajudado!

MV.

A) NAO SEI PK DEU 0 0o

eh impossivel dah 0 ne !

E) AD = BC = AB = DC = 2

2.2 = 4 =)

F) BC. DA = 4 ( como eh ortogonal.. ) = -4

Cos 90 graus = cos 0 graus..

Cos ( 45 + 45 ) = cos45.Cos45 - Sen45.Sen45 = 0

3)