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Boa noite. Dizer que z2n-1=xn e z2n=yn é o mesmo que falar que zn é construída usando xn para os termos ímpares e yn para os termos pares, ou seja,

(zn) = (x1, y1, x2, y2, x3, y3, ....)

Por outro lado, dizer que lim(xn) = a significa que (xn) é convergente. e assim,

∀ ε > 0, ∃ N₁ natural tal que |xn - a| < ε, sempre que n > N₁

Além disso, lim(yn)=a significa que (yn) é convergente. Logo,

∀ ε > 0, ∃ N₂ natural tal que |yn - a| < ε, sempre que n > N₂.

Defina N como sendo o maior entre N₁ e N₂.

Portanto

Dado ε > 0,

sempre que n > 2N, ou seja, n/2 > N. Logo

* se n é par, |zn -a| = |yn/2 -a| < ε, pois n/2 > N > N₂.

* se n é ímpar, |zn -a| = |x(n+1)/2 -a| < ε, pois (n+1)/2 > N > N₁.

Assim,

|zn -a| < ε, sempre que n > 2N. Portanto provamos, pela definição, que lim(zn) = a. Como queríamos.

Espero ter ajudado. Vote na melhor resposta, se assim a achar.