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a primeira coisa a se saber é que derivar parcialmente significa deixar alguma(s) variável(eis) constantes e derivar somente em relação a uma. nesse caso, temos funções de duas variáveis, então ora deixaremos o x constante para calcular a derivada parcial com relação a y ora o y constante para calcular a derivada parcial com relação a x. assim:

a) aqui usaremos a regra do produto para ∂f/∂x pois o cosseno também é função de x juntamente com a regra da cadeia. assim:

∂f(x,y)/∂x = x∂[cos(y-x)]/∂x*[∂(y-x)/∂x] + ∂x/∂x[cos(y-x)] = x[-sen(y-x)](-1)+cos(y-x)=xsen(y-x) + cos(y-x)

e:

∂f(x,y)/∂y = -xsen(y-x)

b) agora a resolução das outras se tornou algo mecânico pois o raciocínio é análogo; só muda a função:

∂f(x,y)/∂x = y² + y + 2xy

∂f(x,y)/∂y = 2xy + x + x²

c) ∂f(x,y)/∂x = y²∂[ln(x²+y²)]/∂x*∂(x² + y²)/∂x = y²(1/x²+y²)2x = 2xy² / (x²+y²)

∂f(x,y)/∂y = y²∂[ln(x²+y²)]/∂x*∂(x² + y²)/∂x + ∂(y²)/∂yln(x²+y²) = 2y³/(x² + y²) + 2yln(x²+y²)

d) ∂z/∂x = ∂√(a² - x² - y²)/∂x*∂(a² - x² - y²)/∂x = -x/√(a² - x² - y²)

∂z/∂y = ∂√(a² - x² - y²)/∂y*∂(a² - x² - y²)/∂y = -y/√(a² - x² - y²)

e) ∂z/∂x = ∂√(x² + y²)/∂x*∂(x² + y²)/∂x = x/√(x² + y²)

∂z/∂y = ∂√(x² + y²)/∂y*∂(x² + y²)/∂y = y/√(x² + y²)

é isso, mas da próxima vez coloque pouca questão porque isso facilita com que sua pergunta seja respondida. e também aconselho estudar pelo Guizorizzi essa parte de derivadas parciais, limites com funções de duas ou mais variváveis, etc.

xauzinho

(H.B.) Você também pode tentar obter sua resposta na seção "Ciências e Matemática" do YR.

Boa sorte...