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Bom, primeiro transforme em coordenadas polares:

x = r.cos(t)

y = r.sin(t)

Onde usei a letra t para representar o ângulo.

Assim a integral fica

∫∫r.cos(t).r.sin(t).r.dr.dt

Pois o elemento de área em coordenadas polares é dA = dxdy = r.dr.dt

Essa integral você consegue resolver sozinha, é bem simples, uma integral em r e outra em t, vou só colocar o resultado:

∫∫r.cos(t).r.sin(t).r.dr.dt = - (r^4/4).(cos(t)²)/2

Agora os limites de integração. O exercício pede para calcular essa integral entre dois círculos, a equação da circunferência é x² + y² = R², assim o raio dos círculos são R = 2 e R = 5. Como a integral é no primeiro quadrante, o angulo vai de 0 até 90 graus. Assim:

∫∫r.cos(t).r.sin(t).r.dr.dt = - (r^4/4).(cos(t)²)/2 = - (r^4)/4).[(cos(90)²/2) - cos(0)²/2] = (r^4/4).(1/2) = (5^4)/8) - (2^4)/8 = 76,125

Se eu não errei nas contas é isso!

Quero ver aparecer alguém que sabe isso aí!!!!

Só mesmo procurando nos livros de cálculo!!!