Calcule o módulo do número complexo 1/(1+i*tg x). (x<> k*pi +pi/2, k inteiro)
Observe:
Solução
.... .. ......1
z = ▬▬▬▬▬▬
.... ...1 + i.tg (x)
Multiplique numerador e denominador pelo conjugado de 1 + i.tg (x) que é 1 - i.tg (x), temos:
.... ....... .1.[ 1 - i.tg (x) ]
z = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
... ..[ 1 + i.tg (x) ].[ 1 - i.tg (x) ]
.... ..... 1 - i.tg (x)
z = ▬▬▬▬▬▬▬▬
... .... 1² - [ i.tg (x) ]²
... ....1 - ( - 1 ).tg² (x)
.... .. 1 - i.tg (x)
... ....1 + tg² (x)
Como 1 + tg² (x) = sec² ( x ), daí;
... ... ..sec² (x)
.... .. ...1.. ..... ..i.tg (x)
z = ▬▬▬▬ - ▬▬▬▬
... ...sec² (x)... .sec² (x)
Obs. 1/[ sec² (x) ] = cos² (x) e [ tg (x) ]/[ sec² (x) ] = sen (x).cos (x).
z = cos² (x) - [ sen (x).cos (x) ].i
Calculando o seu módulo, fica;
ρ = √( a² + b² ) = √{ [ cos² (x) ]² + [ sen (x).cos (x) ]² }
ρ = √[ cos² (x).cos² (x) + cos² (x).sen² (x) ]
ρ = √{ cos² (x).[ cos² (x) + sen² (x) ] }
ρ = √[ cos² (x).( 1 ) ] = √[ cos² (x) ] = cos (x)
Portanto, o módulo do número complexo z é:
R ─────────► ρ = cos (x).
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Por favor não deixe a sua pergunta cair em votação e cuidado com ´´alguns`` usuários que costumam pegar carona nas minhas respostas. Agradeço desde já!!!
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Piauí - Teresina , 18/11/2012
Hora 11 : 15
Temperatura 36º
Abraços !!!!!!!!!!
Fonte(s)
Minha...
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z = ▬▬▬▬▬▬
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.... ....... .1.[ 1 - i.tg (x) ]
z = ▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬▬
... ..[ 1 + i.tg (x) ].[ 1 - i.tg (x) ]
.... ..... 1 - i.tg (x)
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... .... 1² - [ i.tg (x) ]²
.... ..... 1 - i.tg (x)
z = ▬▬▬▬▬▬▬▬
... ....1 - ( - 1 ).tg² (x)
.... .. 1 - i.tg (x)
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... ....1 + tg² (x)
Como 1 + tg² (x) = sec² ( x ), daí;
.... .. 1 - i.tg (x)
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.... .. ...1.. ..... ..i.tg (x)
z = ▬▬▬▬ - ▬▬▬▬
... ...sec² (x)... .sec² (x)
Obs. 1/[ sec² (x) ] = cos² (x) e [ tg (x) ]/[ sec² (x) ] = sen (x).cos (x).
z = cos² (x) - [ sen (x).cos (x) ].i
Calculando o seu módulo, fica;
ρ = √( a² + b² ) = √{ [ cos² (x) ]² + [ sen (x).cos (x) ]² }
ρ = √[ cos² (x).cos² (x) + cos² (x).sen² (x) ]
ρ = √{ cos² (x).[ cos² (x) + sen² (x) ] }
ρ = √[ cos² (x).( 1 ) ] = √[ cos² (x) ] = cos (x)
Portanto, o módulo do número complexo z é:
R ─────────► ρ = cos (x).
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