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Basta dividí-lo em triângulos isósceles.

Como o eneágono está circunscrito em um círculo de raio conhecido, ele pode ser dividido em 9 triângulos iguais. Cada triângulo possui dois lados de comprimento 35 cm fazendo uma abertura de 40º.

Com isso podemos calcular a área de um dos triângulos e multiplicar o resultado por 9.

Para calcular a área vamos tomar o lado de comprimento desconhecido como a base. Usando a lei dos cossenos, podemos calcular seu comprimento. Chamando os lados conhecidos de r, a base de b e o ângulo de t, a lei dos cossenos é:

b² = r² + r³ -2*r*r*cos(t).

b² = 2*35² -2*35²*cos(40º).

b = 23.94 aprox.

Com isso, já podemos calcular o perímetro do eneágono, afinal a base b é seu lado! Assim:

P = 9*b

P = 9*23.94

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P = 215.46 cm

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Agora, precisamos calcular a altura do triângulo. A altura, divide o triângulo em dois triângulos retângulos iguais de hipotenusa r e catetos b/2 e h. Usando o teorema de Pitágoras:

h² + (b/2)² = r²

h² = r² - (b/2)²

h² = 70² - (23.94/2)²

h = 68.97 prox.

Por fim, basta calcular a área:

A_triang = 1/2*b*h

A_triang = 1/2 * 68.97 * 23.94

A_triang = 825.57 cm²

Assim, a área do eneágono será:

A_ene = 9*A_triang

A_ene = 9*825.57

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A_ene = 7430.14 cm²

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Só pra comparar, a área do círculo é 15393.80, ou seja, o eneágono ocupa aproximadamente metade da área do círculo.

muito simples: A = p * a (lê-se: área é igual a semiperímetro vezes o apótema)

2p = perímetro (soma de todos os lados)

Certas vezes nos encontramos diante de situações simples e básicas que podem ser elaboradas, exemplificadas e até mesmo solucionadas com o conhecimento matemático.

Um exemplo claro do uso do conhecimento matemático nessas simples situações é quando precisamos saber o tamanho de certas coisas, logo sabemos que essas medidas que procuramos correspondem também ao uso das unidades de medida correspondentes. Um terreno por exemplo, além da área que possui, também possui medidas laterais independente da natureza que é formado esse terreno – quadrado, retângulo, trapézio, etc -. Se tratarmos de um terreno retangular com dimensões laterais de 12m e 25m, sabemos que sua área é 300m². Isso significa que se quisermos calçar o terreno devemos comprar o material necessário para 300m², mas por outro lado se falarmos por exemplo, em cercar esse mesmo local, falaremos em perímetro.

O perímetro de um determinado lugar é a soma das medidas de seus lados. Pegando as dimensões do terreno citado acima temos: 12 m e 15m. Somando a medida de seus lados temos que o perímetro do terreno é igual a 54m.

Se resolvermos dar uma volta completa em torno do terreno iremos caminhar 54m pois esse terreno tem uma dimensão igual a 12m + a outra 15m + outra de 12m e + outra de15m, formando um ciclo em torno do terreno. Como sabemos o local dado como exemplo é da forma retangular, que podemos trabalhar como uma figura geométrica sabendo que o retângulo possui quatro lados sendo os dois não consecutivos paralelos iguais, sendo assim o perímetro desse retângulo é igual a 54 m.

Caso necessitarmos de obter o perímetro de uma figura geométrica qualquer por exemplo, devemos observar primeiro a natureza da figura, ou seja, quantos lados possui; pentágono 5 lados, eneágono 9 lados, triângulo 3 lados, e depois realizar a soma das medidas de todos os lados para achar o perímetro.

As figuras geométricas que trabalhamos inicialmente no estudo de perímetro são as figuras planas, partindo das definições sobre figuras planas, a palavra polígono aparece na grande maioria delas. Toda linha chamada linha poligonal fechada, podemos dizer que é uma figura geométrica plana, sendo possível calcular o perímetro em qualquer figura desse tipo.

Portanto nas figuras geométricas planas ou linhas poligonais fechadas é possível determinarmos seu perímetro fazendo a soma dos lados.

Cuidado nas possíveis interpretações de áreas e perímetros de figuras geométricas planas, são coisas extremamente distintas.

Bibliografia:

Fundamentos de matemática elementar volume 9 e volume 10. Gelson Iezzi. Tudo é matemática-Ensino fundamental. Dante

Matemática para o ensino médio. Volume único. Jackson Ribeiro.