Quando x tende para infinito ln(x) tende para infinito assim, lim ln(x) quando x tende para infinito é infinito.
Quando x tende para infinito então (x-2)(x-3) = x^2 - 5x+ 6 tende para infinito (observe no gráfico que quando x assume valores muito altos então x^2 - 5x + 6 também assume valores muito altos). Mas se o denominador é um valor cada vez maior, então o limite tende para zero,
pois 1/x > 1/(x^2 - 5x + 6) para x > 5 assim,
1/x < 1/10 se x > 10
1/x < 1/100 se x > 100
1/x < 1/10.000.000.000 se x > 10.000.000.000
Logo se x -> infinito então 1/x tende para zero e, consequentemente,
1/(x^2 - 5x + 6) também tende para zero.
Formalmente lim (x -> infinito) f(x) é infinito se para qualquer K > 0
existir um número real m tal que
f(x) > K para todo x > m.
No caso de lim(x -> infinito) ln(x) é infinito, pois para qualquer K>0
então ln(x) > K sempre que x > exp(K).
Formalmente lim(x -> infinito) g(x) é 0 se para qualquer K>0
existir um número real m tal que
|f(x)| < K para todo x > m.
Assim, como |1/(x^2 - 5x + 6)| < 1/x < K para todo x > max{1/K, 5} = m.
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Calcular um limite é , em primeiro lugar,substituir o x por esse valor ( no caso , +∞)
lim ln x = ln +∞ = +∞
x→+∞
logaritmo tende para +∞ , quando x tende para +∞
lim 1/(x-2)(x-3) = 1/ (+∞-2)(+∞-3) = 1/ (+∞)(+∞) = 1/ +∞ = 0
x→+∞
Nota : operações com infinitos :
1) somar ou subtrair números a ∞ não faz nada,dá sempre o mesmo infinito
por exemplo , +∞ - 10000000 = +∞
-∞ +5343533535 = -∞
2) multiplicar infinitos é só questão de regra de sinais
(+∞)(+∞) = +∞
(+∞)(-∞) = -∞
(-∞)(+∞) = -∞
(-∞)(-∞) = +∞
3) Qualquer número dividido por infinito é 0
-2/+∞ = 0
1872626 / -∞ = 0
0 / ∞ = 0
Quando x tende para infinito ln(x) tende para infinito assim, lim ln(x) quando x tende para infinito é infinito.
Quando x tende para infinito então (x-2)(x-3) = x^2 - 5x+ 6 tende para infinito (observe no gráfico que quando x assume valores muito altos então x^2 - 5x + 6 também assume valores muito altos). Mas se o denominador é um valor cada vez maior, então o limite tende para zero,
pois 1/x > 1/(x^2 - 5x + 6) para x > 5 assim,
1/x < 1/10 se x > 10
1/x < 1/100 se x > 100
1/x < 1/10.000.000.000 se x > 10.000.000.000
Logo se x -> infinito então 1/x tende para zero e, consequentemente,
1/(x^2 - 5x + 6) também tende para zero.
Formalmente lim (x -> infinito) f(x) é infinito se para qualquer K > 0
existir um número real m tal que
f(x) > K para todo x > m.
No caso de lim(x -> infinito) ln(x) é infinito, pois para qualquer K>0
então ln(x) > K sempre que x > exp(K).
Formalmente lim(x -> infinito) g(x) é 0 se para qualquer K>0
existir um número real m tal que
|f(x)| < K para todo x > m.
Assim, como |1/(x^2 - 5x + 6)| < 1/x < K para todo x > max{1/K, 5} = m.
Logo lim (x -> infinito) 1/(x^2 - 5x + 6) = 0