Como n é natural, (n³ + 3n² + 5n + 3) é inteiro. Pela definição de divisibilidade, isto conclui a prova.
2º Modo:
Se os três números são consecutivos, deixam restos distintos quando divididos por 3. Como são 3 os restos possíveis para um número dividido por 3, exatamente um deles é divisível por 3, exatamente um deixa resto 1 e exatamente um deixa resto 2. O resto do cubo do divisível é 0, o resto do cubo do que deixa resto 1 é 1 e o resto do cubo do que deixa resto 2 é 2 (8 deixa resto 2). Assim, como a soma dos restos dos cubos é divisível por 3, de tal modo que a soma dos cubos é divisível por 3.
obs: Uma demonstração rigorosa dos argumentos usados no 2º modo depende de aritmética modular (caso contrário a demonstração coincide com o 1º modo). Se você souber aritmética modular, é fácil verificar a minha argumentação.
obs2: Pelo segundo modo, é fácil generalizar para provar que a soma das enésimas potências de 3 números inteiros consecutivos é divisível por 3 se, e somente se, n for ímpar. Com um pouco mais de trabalho, pelo segundo modo também é possível generalizar para provar que a soma das enésimas potências de k números inteiros consecutivos é divisível por k se n e k forem ímpares ou n for ímpar e k for par da forma k = a^(n-1) para algum inteiro a múltiplo de 4.
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Foi pedido que se provasse divisibilidade por 9, não por 3.....
Sendo n o número do meio, os demais são n - 1 e n + 1. A soma de seus cubos é
s = (n - 1)³ + n³ + (n + 1)³ = n³ - 3n² + 3n - 1 + n³ + n³ + 3n² + 3n + 1 = 3n³ + 6n = 3n(n² + 6).
Disto deduzimos imediatamente que s é divisível por 3. Para concluir, basta, então, mostrar que n(n² + 6) é divisível por 3.
Se n for múltiplo de 3, a conclusão é imediata. Se não for, então ou n ≡ 1 (mod 3), ou n ≡ 2 (mod 3).
Se n ≡ 1 (mod 3), então
n² ≡ 1² ≡ 1 (mod 3)
n² + 2 ≡ 1 + 2 ≡ 3 (mod 3), o que implica que n² + 2 seja múltiplo de 3.
Se n ≡ 2 (mod 3), então
n² ≡ 2² ≡ 4 (mod 3)
n² + 2 ≡ 4 + 2 ≡ 6 = 2 x 3 (mod 3), o que implica que n² + 2 seja, novamente, múltiplo de 3..
Em qualquer caso, n(n² + 2) é múltiplo de 3, do que deduzimos que s é divisível por 9.
Talvez haja uma generalização. Vou analisar, quando tiver tempo, se a soma das potências k de k inteiros consecutivos é divisível por k².
Seja n o menor da tripla de números. Então:
n³ = n³
(n+1)³ = n³ + 3n² + 3n + 1
(n+2)³ = n³ + 6n² + 12n + 8
n³ + (n+1)³ + (n+2)³ = 3n³ + 9n² + 15n + 9 = 3(n³ + 3n² + 5n + 3)
Como n é natural, (n³ + 3n² + 5n + 3) é inteiro. Pela definição de divisibilidade, isto conclui a prova.
2º Modo:
Se os três números são consecutivos, deixam restos distintos quando divididos por 3. Como são 3 os restos possíveis para um número dividido por 3, exatamente um deles é divisível por 3, exatamente um deixa resto 1 e exatamente um deixa resto 2. O resto do cubo do divisível é 0, o resto do cubo do que deixa resto 1 é 1 e o resto do cubo do que deixa resto 2 é 2 (8 deixa resto 2). Assim, como a soma dos restos dos cubos é divisível por 3, de tal modo que a soma dos cubos é divisível por 3.
obs: Uma demonstração rigorosa dos argumentos usados no 2º modo depende de aritmética modular (caso contrário a demonstração coincide com o 1º modo). Se você souber aritmética modular, é fácil verificar a minha argumentação.
obs2: Pelo segundo modo, é fácil generalizar para provar que a soma das enésimas potências de 3 números inteiros consecutivos é divisível por 3 se, e somente se, n for ímpar. Com um pouco mais de trabalho, pelo segundo modo também é possível generalizar para provar que a soma das enésimas potências de k números inteiros consecutivos é divisível por k se n e k forem ímpares ou n for ímpar e k for par da forma k = a^(n-1) para algum inteiro a múltiplo de 4.