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Solução:

V = xyz = 64 → z = 64/xy

Ct(x, y, z) = xy + xz/2 + yz/2

C(x, y) = xy + 32/x + 32/y

Ponto crítico → ∇.C = (∂C / ∂x, ∂C / ∂y) = 0

∂C / ∂x = y - 32 / x² = 0 → x²y = 32

∂C / ∂y = x - 32 / y² = 0 → xy² = 32

y = 32/x² → y² = 32²/x⁴ = 32/x → x³ = 32 → x = ∛32 = 2∛4

x = 32/y² → x² = 32²/y⁴ = 32/y → y³ = 32 → y = ∛32 = 2∛4

z = 64/xy = ∛(64³/32²) = 4∛4

Resposta:

As caixas deverão ter altura 4∛4 cm com

tampa e fundo quadrados de lado 2∛4 cm.

Extra:

Pode-se verificar se P(2∛4, 2∛4) é mesmo um mínimo

para C(x, y) (ou um máximo, ou um ponto de sela).

Calcular ∆ = (∂²C / ∂x²).(∂²C / ∂y²) - (∂²C / ∂x∂y)²

Há 4 possibilidades:

∆ = 0 : Nada se pode afirmar

∆ < 0 : Ponto de sela

∆ > 0 : ∂²C / ∂x² > 0 → mínimo e ∂²C / ∂x² < 0 → máximo

∂²C / ∂x² = 64/x³ = 64 / (2∛4)³ = 2

∂²C / ∂y² = 64/y³ = 64 / (2∛4)³ = 2

∂²C / ∂x∂y = 1

Como ∆ = 2.2 - 1² = 3 > 0 e ∂²C / ∂x² = 2 > 0,

P(2∛4, 2∛4) é um mínimo local.