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Olá, rk!

Assim, como no outro problema, vamos primeiramente tentar visualizar os dados no plano cartesiano. Para isso, rearrumemos as expressões:

x ≧ √(1 + y²)

x²/1 - y²/1 ≧ 1

E:

y ≦ -2x + 2

De fato, a primeira equação representa a superfície interna ao ramo direito de uma hipérbole centrada na origem e de semi-eixos 1 e 1, ao passo que a segunda nos fornece a região abaixo à reta de coeficiente angular -2 e coeficiente linear 2. Assim, após passarmos isso para o diagrama, fica fáci perceber que o que queremos é a área da intersecção entre as figuras.

Portanto, calculemos os pontos de intersecção:

x = √(1+y²) = √[1+ (-2x + 2)²]

3x² - 8x + 5 = 0

Logo, x = 1 e x = 5/3.

Agora é só integrar em x (considere as integrais definidas de 1 a 5/3):

S = ∫√(x² - 1) dx - ∫(-2x + 2) dx

A segunda integral é uma polinomial imediata. Quanto à primeira, vc vai usar o mesmo método do outro exercício: substituição trigonométrica. Monte o triângulo de catetos 1 e √(x² - 1) e hipotenusa x (não vou escrever aqui pq é bastante semelhante ao outro). Desenvolvendo, vc chegará na integral de sec³(a) - sec(a) da, em que a é o ângulo inventado. Para calcular a integral de secante ao cubo integre por partes. A outra integral é imediata. Fazendo assim, vc encontrará que:

∫√(x² - 1) dx = x/2 √(x² - 1) - 1/2 ln(|x + √(x² - 1)|) + C

Substituindo valores, vc encontrará:

S = (5/6 . 4/3 - 1/2 ln3) - (5/9 - 1)

S = 1/6 (20/3 - 3ln3) - 4/9

S = 1/6(4 - 3ln3)

Obs.: Não se assuste se não compreender a 'matemágica' de primeira, isso leva um tempo até se acostumar. Só por curiosidade, vc é calouro?

Obs'.: Se quiser conferir algumas integrais, consulte a seguinte tábua: http://www.ematos.info/download/mestrado/tabua.pdf

Espero ter ajudado!

MV.