Sejam α e β dois ângulos consecutivos quaisquer de um paralelogramo. Em um paralelogramo ângulos opostos são congruentes (possuem a mesma medida) e ângulos consecutivos são suplementares (a soma de suas medidas é 180° ou 2π rad). Então, α + β = 180°.
Vamos imaginar que as bissetrizes dos ângulos α e β se encontrem, determinando uma região triângular. Naturalmente, dois de seus ângulos medem α/2 e β/2. Concluímos isso da definição de bissetriz. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo vale 180°, o terceiro ângulo vale 180° - (α/2 + β/2). Mas quanto α/2 + β/2 vale?
Fatoramos α/2 + β/2, pondo o fator 1/2 em evidência. Isso nos dá 1/2(α + β). Mas α + β = 180°, então α/2 + β/2 = 90°, e o terceiro ângulo é reto, c.q.d.
Nota: quando duas retas se interceptam em um ponto e um dos ângulos formados entre elas é reto (vale 90°), os outros três também valem 90°.
Answers & Comments
Verified answer
Sejam α e β dois ângulos consecutivos quaisquer de um paralelogramo. Em um paralelogramo ângulos opostos são congruentes (possuem a mesma medida) e ângulos consecutivos são suplementares (a soma de suas medidas é 180° ou 2π rad). Então, α + β = 180°.
Vamos imaginar que as bissetrizes dos ângulos α e β se encontrem, determinando uma região triângular. Naturalmente, dois de seus ângulos medem α/2 e β/2. Concluímos isso da definição de bissetriz. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo vale 180°, o terceiro ângulo vale 180° - (α/2 + β/2). Mas quanto α/2 + β/2 vale?
Fatoramos α/2 + β/2, pondo o fator 1/2 em evidência. Isso nos dá 1/2(α + β). Mas α + β = 180°, então α/2 + β/2 = 90°, e o terceiro ângulo é reto, c.q.d.
Nota: quando duas retas se interceptam em um ponto e um dos ângulos formados entre elas é reto (vale 90°), os outros três também valem 90°.