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sen(x)=2.sen(x/2).cos(x/2)

cos(x)=cos²(x/2)-sen²(x/2)

sen(x)/[1+cos(x)]=

..[2.sen(x/2).cos(x/2)]

=-----------------------------------

...[1+cos²(x/2)-sen²(x/2)]

Mas 1-sen²(x/2)=cos²(x/2). Portanto:

sen(x)/[1+cos(x)]=

..[2.sen(x/2).cos(x/2)]

=-----------------------------------=

........[2cos²(x/2)]

....sen(x/2)

=--------------= tg(x/2)

....cos(x/2)

Resposta:...sen(x)/[1+cos(x)]=tg(x/2)

sen(x)/(1+cos(x))=tg(x/2)=sen(x/2)/cos(x/2)

Para facilitar os cálculos faça: y =x/2

Então:

sen(2y) / (1+cos(2y) = tg(y) = sen(y) / cos(y)

obs.:

Sen(2a) = 2.sen(a)cos(a)

Cos(2a) = cos²a - sen²a = 2cos²a - 1

sen²a + cos²a = 1

2*sen(y)*cos(y) / (1+cos²(y) - sen²(y)) =

2*sen(y)*cos(y) / (sen²(y)+cos²(y)+cos²(y) =

2*sen(y)*cos(y) / (2*cos²(y))=sen(y) / cos(y) =

sen(y) / cos(y) = sen(x/2) / cos(x/2) = tg(x/2)

Fim.

sen(x)/(1+cos(x))=tg(x/2)=sen(x/2)/cos(x/2)

y=x/2

sen(2y)/(1+cos(2y)=tg(y)=sen(y)/cos(y)

2*sen(y)*cos(y)/(1+cos²(y)-sen²(y))=

2*sen(y)*cos(y)/(sen²(y)+cos²(y)+cos²(y)-sen²(y))=

2*sen(y)*cos(y)/(2*cos²(y))=sen(y)/cos(y)

sen(y)/cos(y)=sen(x/2)/cos(x/2)=tg(x/2)