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Usando l'hopital:

lim (x⁶ - 1) / (x¹º - 1) = lim ( 6x⁵ ) / ( 10x⁹) = 6/10 = 3/5 >>

x --> 1........................x --> 1

Mas imagino que queira a resolução sem usar L'hopital.

Então, basta saber da fatoração:

xⁿ - 1 = (x - 1).(xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻² + xⁿ⁻³....+ xⁿ⁻ⁿ)

Resolvendo, temos:

lim (x⁶ - 1) / (x¹º - 1) =

x --> 1

lim (x - 1).(x⁵+x⁴+x³+x²+x+1) / (x - 1).(x⁹+x⁸+x⁷+x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1) =

x --> 1

lim (x⁵+x⁴+x³+x²+x+1) / (x⁹+x⁸+x⁷+x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1) =

lim (1+1+1+1+1+1) / (1+1+1+1+1+1+1+1+1+1) = 6/10 = 3/5 >>

Um vez eu vi um professor catedrático dizendo que esses tipos limites se resolvem usando o limite fundamental abaixo, então resolvi resolvê-lo assim pra você:

lim (a^x - 1) / x = lna

x --> 0

lim (x⁶ - 1) / (x¹º - 1) =

x --> 1

lim (e^lnx⁶ - 1) / (e^lnx¹º - 1)

x --> 1

lim lnx⁶ - 1) / lnx¹º - 1)

x --> 1

lim 6lnx - 1) / 10lnx - 1)

x --> 1

lim 6lnx - lne) / 10lnx - lne)

x --> 1

lim 6(lnx)/e) / 10(lnx)/e), simplifica a fração cortando (lnx)/x

x --> 1

lim 6(lnx)/e) / 10(lnx)/e) = 6/10 = 3/5

x --> 1

Observe que não foi necessário fazer a mudança de variável visando fazer x tender a zero, visando atender situação exigida pelo limite fundamental, pois o resultado veio de imediato. Essa é a vantagem desse método.

Obs. Se você sentiu dúvida na passagem de

lim (e^lnx⁶ - 1) / (e^lnx¹º - 1) para

x --> 1

lim lnx⁶ - 1) / lnx¹º - 1)

x --> 1

me diz que eu esclareço mais.

bibliografia: análise matemática - autor Duílio Nogueira

6/10

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