Veja que vamos ter que encontrar a quantidade de números que são divisíveis por 4 e depois a quantidade de números que são divisíveis por 5. Ocorre que, nesse intervalo, alguns números são comuns, ou seja, são divisíveis por "4' e por "5" ao mesmo tempo. Então a soma dos números divisíveis por "4" MAIS a soma dos números divisíveis por "5", MENOS a quantidade de números divisíveis por "4" e "5" ao mesmo tempo, dará o resultado disso.
E, nas três hipóteses, vamos cair numa questão envolvendo Progressão Aritmética (PA).
i) Vamos encontrar a quantidade de números que são divisíveis por "4", no intervalo de 100 a 999.
Veja: o primeiro número divisível por "4", no intervalo de 100 a 999, é o próprio 100 (pois 25*4 = 100).
Assim, 100 será o primeiro termo (a1) da PA; o último termo divisível por "4", imediatamente anterior a 999, é o número 996 (pois 249*4 = 996). Assim, 996 vai ser o último termo (an) da PA.
E, como os números divisíveis por "4" têm uma diferença de "4" unidades de um para o seu consecutivo, então a razão (r) da nossa PA será igual a "4".
Finalmente, vamos encontrar a quantidade de números que são divisíveis por "4", no intervalo entre 100 e 999, pela fórmula do termo geral, que é esta:
an = a1 + (n-1)*r
Na fórmula acima, substituiremos "an" por 996; substituiremos "a1" por "100"; e substituiremos "r" por "4". Assim, fazendo essas substituições, temos:
996 = 100 + (n-1)*4
996 = 100 + 4*n - 4*1
996 = 100 + 4n - 4 ----- ordenando, ficamos com:
996 = 4n + 100-4
996 = 4n + 96 ---- passando 96 para o 1º membro, temos:
996 - 96 = 4n
900 = 4n ----- invertendo, temos:
4n = 900
n = 900/4
n = 225 <--- Esta é a quantidade de números divisíveis por "4" no intervalo entre 100 e 999.
ii) Agora vamos encontrar a quantidade de números que são divisíveis por "5", no intervalo de 100 a 999.
Veja que o primeiro número divisível por "5", no intervalo de 100 a 999, é o próprio 100 (pois 20*5 = 100).
Assim, 100 será o primeiro termo (a1) da PA; o último termo divisível por "5", imediatamente anterior a 999, é o número 995 (pois 199*5 = 955). Assim, 995 vai ser o último termo (an) da PA.
E, como os números divisíveis por "5" têm uma diferença de "5" unidades de um para o consecutivo, então a razão (r) da nossa PA será igual a "5".
Vamos, portanto, empregar a fórmula do termo geral, que é esta:
an = a1 + (n-1)*r
Na fórmula acima, substituiremos "an" por 995; substituiremos "a1" por 100 ; e substituiremos "r" por "5", ficando:
995 = 100 + (n-1)*5
995 = 100 + 5*n - 5*1
995 = 100 + 5n - 5 ---- ordenando, ficamos com:
995 = 5n + 100-5
995 = 5n + 95 ---- passando 95 para o 1º membro, ficamos com:
995 - 95 = 5n
900 = 5n ---- vamos inverter, ficando:
5n = 900
n = 900/5
n = 180 <--- Esta é a quantidade de números divisíveis por "5", no intervalo entre 100 e 999.
iii) Agora vamos à quantidade de números que são divisíveis por "4" e "5" ao mesmo tempo. Então basta que calculemos a quantidade de números que são divisíveis por 20 (pois 4*5 = 20) no intervalo entre 100 e 999.
Veja que o 1º número divisível por "20", no intervalo entre 100 e 999, é o próprio 100 (pois 4*20 = 100). Então 100 será o primeiro termo (a1) da nossa PA; o último termo, imediatamente anterior a 999, que é divisível por 20, é o número 980 (pois 49*20 = 980). Então 980 será o último termo (an) da nossa PA; e considerando que os números divisíveis por "20" têm uma diferença de 20 unidades entre um número e seu consecutivo, então a razão será igual a 20.
Assim, aplicando a fórmula do termo geral, temos:
an = a1 + (n-1)*r
Substituindo "an" por 980, "a1" por "100" e "r' por "20", temos:
980 = 100 + (n-1)*20
980 =100 + 20*n - 20*1
980 = 100 + 20n - 20 ---- ordenando, ficamos com:
980 = 20n + 100-20
980 = 20n + 80 ---- passando 80 para o 1º membro, temos:
980 - 80 = 20n
900 = 20n ----- invertendo, ficamos com:
20n = 900
n = 900/20
n = 45 <--- Esta é a quantidade de números que são divisíveis por "4" e por "5" ao mesmo tempo, no intervalo entre 100 e 999.
iv)) Agora vamos ao resultado, que será a quantidade dos números divisíveis por "4'' MAIS a quantidade dos números que são divisíveis por "5", menos os números divisíveis por "4" e "5" simultaneamente. Assim, chamando esse resultado de "R", temos:
R = 225 + 180 - 45
R = 405 - 45
R = 360 <--- Esta é a resposta. Esta é a quantidade de números que são divisíveis por 4 ou 5, no intervalo entre 100 e 999.
Isso aí é bem fácil de adivinhar! Você sabe que 100 é divisível por 4, certo? Então, como 100 dividido por 4 é igual a 25, você sabe que 100 pode ser decomposto como uma soma de 4 vinte e cinco vezes, então, pode-se dizer que 100=4+4+4+4+4+...+4. Assim, a soma de quaisquer n elementos da soma, será um número divisível por 4. Pode-se pegar o primeiro só, que é 4, o primeiro e o segundo, que é 4+4=8, você acha o segundo múltiplo de 4, do primeiro até o terceiro que é 4+4+4=12, acha o terceiro múltiplo de 4, e assim por diante, até que você vai pegar do primeiro até o 25º termo, achando o 25º múltiplo de 4, que é 100. Logo, até 100, você tem 25 números divisíveis por 4, então até 99, você tem 24, ou seja, 24 múltiplos de 4 menores que 100. Até 999, usando o mesmo raciocínio, você tem 250 múltiplos de 4 até 1000, mas como o 1000 não está incluso, então só vai ter 249 números divisíveis por 4, subtraindo daqueles que são menores do que 100, terá 225 números que são divisíveis por 4, de 100 até 999.
Fazendo a mesma coisa pro 5, temos que 19 números são divisíveis por 5, menores que 100 e 199 números, de 1 até 999, logo, retirando aqueles menores que 100, temos 180 números divisíveis por 5, de 100 até 999.
Mas existem números nesse meio aí que são divisíveis tanto por 4 quanto por 5, então não podemos só somar tudo, porque esses seriam repetidos, então temos que tirar esses números. Mas sabemos que um número que é divisível por 4 e também por 5 é divisível por 20. Então vamos utilizar o mesmo raciocínio e descobrir quantos números são divisíveis por 20. Menores que 100, temos 4 números. De 1 a 999, temos 49 divisíveis por 20. Então, de 100 a 999, temos 45 números divisíveis tanto por 4, quanto por 5.
Assim, o total de números divisíveis por 4 ou por 5, de 100 até 999, é igual ao total de números divisíveis por 4 mais o total de números divisíveis por 5, menos os números repetidos. Ou seja, 225+180-45 = 360.
Portanto, existem 360 números, de 100 a 999, que são divisíveis por 4 ou por 5.
Answers & Comments
Vamos lá.
Veja que vamos ter que encontrar a quantidade de números que são divisíveis por 4 e depois a quantidade de números que são divisíveis por 5. Ocorre que, nesse intervalo, alguns números são comuns, ou seja, são divisíveis por "4' e por "5" ao mesmo tempo. Então a soma dos números divisíveis por "4" MAIS a soma dos números divisíveis por "5", MENOS a quantidade de números divisíveis por "4" e "5" ao mesmo tempo, dará o resultado disso.
E, nas três hipóteses, vamos cair numa questão envolvendo Progressão Aritmética (PA).
i) Vamos encontrar a quantidade de números que são divisíveis por "4", no intervalo de 100 a 999.
Veja: o primeiro número divisível por "4", no intervalo de 100 a 999, é o próprio 100 (pois 25*4 = 100).
Assim, 100 será o primeiro termo (a1) da PA; o último termo divisível por "4", imediatamente anterior a 999, é o número 996 (pois 249*4 = 996). Assim, 996 vai ser o último termo (an) da PA.
E, como os números divisíveis por "4" têm uma diferença de "4" unidades de um para o seu consecutivo, então a razão (r) da nossa PA será igual a "4".
Finalmente, vamos encontrar a quantidade de números que são divisíveis por "4", no intervalo entre 100 e 999, pela fórmula do termo geral, que é esta:
an = a1 + (n-1)*r
Na fórmula acima, substituiremos "an" por 996; substituiremos "a1" por "100"; e substituiremos "r" por "4". Assim, fazendo essas substituições, temos:
996 = 100 + (n-1)*4
996 = 100 + 4*n - 4*1
996 = 100 + 4n - 4 ----- ordenando, ficamos com:
996 = 4n + 100-4
996 = 4n + 96 ---- passando 96 para o 1º membro, temos:
996 - 96 = 4n
900 = 4n ----- invertendo, temos:
4n = 900
n = 900/4
n = 225 <--- Esta é a quantidade de números divisíveis por "4" no intervalo entre 100 e 999.
ii) Agora vamos encontrar a quantidade de números que são divisíveis por "5", no intervalo de 100 a 999.
Veja que o primeiro número divisível por "5", no intervalo de 100 a 999, é o próprio 100 (pois 20*5 = 100).
Assim, 100 será o primeiro termo (a1) da PA; o último termo divisível por "5", imediatamente anterior a 999, é o número 995 (pois 199*5 = 955). Assim, 995 vai ser o último termo (an) da PA.
E, como os números divisíveis por "5" têm uma diferença de "5" unidades de um para o consecutivo, então a razão (r) da nossa PA será igual a "5".
Vamos, portanto, empregar a fórmula do termo geral, que é esta:
an = a1 + (n-1)*r
Na fórmula acima, substituiremos "an" por 995; substituiremos "a1" por 100 ; e substituiremos "r" por "5", ficando:
995 = 100 + (n-1)*5
995 = 100 + 5*n - 5*1
995 = 100 + 5n - 5 ---- ordenando, ficamos com:
995 = 5n + 100-5
995 = 5n + 95 ---- passando 95 para o 1º membro, ficamos com:
995 - 95 = 5n
900 = 5n ---- vamos inverter, ficando:
5n = 900
n = 900/5
n = 180 <--- Esta é a quantidade de números divisíveis por "5", no intervalo entre 100 e 999.
iii) Agora vamos à quantidade de números que são divisíveis por "4" e "5" ao mesmo tempo. Então basta que calculemos a quantidade de números que são divisíveis por 20 (pois 4*5 = 20) no intervalo entre 100 e 999.
Veja que o 1º número divisível por "20", no intervalo entre 100 e 999, é o próprio 100 (pois 4*20 = 100). Então 100 será o primeiro termo (a1) da nossa PA; o último termo, imediatamente anterior a 999, que é divisível por 20, é o número 980 (pois 49*20 = 980). Então 980 será o último termo (an) da nossa PA; e considerando que os números divisíveis por "20" têm uma diferença de 20 unidades entre um número e seu consecutivo, então a razão será igual a 20.
Assim, aplicando a fórmula do termo geral, temos:
an = a1 + (n-1)*r
Substituindo "an" por 980, "a1" por "100" e "r' por "20", temos:
980 = 100 + (n-1)*20
980 =100 + 20*n - 20*1
980 = 100 + 20n - 20 ---- ordenando, ficamos com:
980 = 20n + 100-20
980 = 20n + 80 ---- passando 80 para o 1º membro, temos:
980 - 80 = 20n
900 = 20n ----- invertendo, ficamos com:
20n = 900
n = 900/20
n = 45 <--- Esta é a quantidade de números que são divisíveis por "4" e por "5" ao mesmo tempo, no intervalo entre 100 e 999.
iv)) Agora vamos ao resultado, que será a quantidade dos números divisíveis por "4'' MAIS a quantidade dos números que são divisíveis por "5", menos os números divisíveis por "4" e "5" simultaneamente. Assim, chamando esse resultado de "R", temos:
R = 225 + 180 - 45
R = 405 - 45
R = 360 <--- Esta é a resposta. Esta é a quantidade de números que são divisíveis por 4 ou 5, no intervalo entre 100 e 999.
OK?
Adjemir.
Isso aí é bem fácil de adivinhar! Você sabe que 100 é divisível por 4, certo? Então, como 100 dividido por 4 é igual a 25, você sabe que 100 pode ser decomposto como uma soma de 4 vinte e cinco vezes, então, pode-se dizer que 100=4+4+4+4+4+...+4. Assim, a soma de quaisquer n elementos da soma, será um número divisível por 4. Pode-se pegar o primeiro só, que é 4, o primeiro e o segundo, que é 4+4=8, você acha o segundo múltiplo de 4, do primeiro até o terceiro que é 4+4+4=12, acha o terceiro múltiplo de 4, e assim por diante, até que você vai pegar do primeiro até o 25º termo, achando o 25º múltiplo de 4, que é 100. Logo, até 100, você tem 25 números divisíveis por 4, então até 99, você tem 24, ou seja, 24 múltiplos de 4 menores que 100. Até 999, usando o mesmo raciocínio, você tem 250 múltiplos de 4 até 1000, mas como o 1000 não está incluso, então só vai ter 249 números divisíveis por 4, subtraindo daqueles que são menores do que 100, terá 225 números que são divisíveis por 4, de 100 até 999.
Fazendo a mesma coisa pro 5, temos que 19 números são divisíveis por 5, menores que 100 e 199 números, de 1 até 999, logo, retirando aqueles menores que 100, temos 180 números divisíveis por 5, de 100 até 999.
Mas existem números nesse meio aí que são divisíveis tanto por 4 quanto por 5, então não podemos só somar tudo, porque esses seriam repetidos, então temos que tirar esses números. Mas sabemos que um número que é divisível por 4 e também por 5 é divisível por 20. Então vamos utilizar o mesmo raciocínio e descobrir quantos números são divisíveis por 20. Menores que 100, temos 4 números. De 1 a 999, temos 49 divisíveis por 20. Então, de 100 a 999, temos 45 números divisíveis tanto por 4, quanto por 5.
Assim, o total de números divisíveis por 4 ou por 5, de 100 até 999, é igual ao total de números divisíveis por 4 mais o total de números divisíveis por 5, menos os números repetidos. Ou seja, 225+180-45 = 360.
Portanto, existem 360 números, de 100 a 999, que são divisíveis por 4 ou por 5.
MMC entre 4 e 5 = 20
São 20 :
100, 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 ......
MMC entre 4 e 5: 20
20 * 5 = 100
Os números divisíveis por 4 e 5 são os números divisíveis por 20:
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300...
9 x 5 - 1 = 44
R: 44.