Verified answer

A idéia geral é resolver cada um dos fatores (isto é, igualar cada um deles a 0, achar as raízes e verificar o sinal de cada fator (sempre verificando o coeficiente do termo dominante - o que acompanha o "x" de maior potência - para tentar montar o gráfico) em separado) para depois fazer um "quadro de sinais" que permita a verificação do sinal da função produto. Vou economizar um pouco nas contas das resoluções das equações para chegar logo ao quadro de sinais, que é o que (eu imagino) seja o que mais interessa no exercício

A)

f(x) = x² - 2x - 3 =0

delta = 16

x1 = -1

x2 = 3

Como a concavidade da parábola é para cima, isso quer dizer que a função f é negativa para -1< x < 3 e positiva para x<-1 ou x > 3

g(x) = 2x² - 5x + 2 = 0

delta = 9

x1 = 1/2

x2 = 2

Como a concavidade da parábola é para cima, isso quer dizer que a função f é negativa para 1/2< x < 2 e positiva para x<1/2 ou x > 2 .Fazendo o quadro de sinais ( + indica os valores positivos da função e - indica os valores negativos)

........-1...1/2...2...3........

f...|..+...-.......-....-...+

g..|..+...+......-....+...+

f*g|..+...-......+....-....+

(sinais obtidos pela multiplicação das 2 primeiras linhas)

Logo

(x² - 2x - 3) . (2x² - 5x + 2) < 0 para -1<x<1/2 ou 2<x<3

B)Agora que pelo menos um exemplo já foi "destrinchado", vamos acelerar um pouco...

f(x) = x² + x - 6 =0

x1 = -3

x2= 2

g(x) = x² - 1 = 0

x1 = -1

x2 = 1

........-3.....-1...1...2........

f...|.+.....-......-....-....+

g..|.+.....+......-...+....+

f*g|.+.....-......+...-.....+ (sinais obtidos pela multiplicação das 2 primeiras linhas)

Logo

(x² + x - 6) . (x² - 1) ≥ 0 para x <= -3 ou -1 <=x <= 1 ou x >=2

C)

f(x) = x² - 3x =0

x1 = 0

x2 = 3

g(x) =-x + 2 = 0

x1 = 2

Como equações de primeiro grau com coeficiente negativo são "inclinadas para a esquerda", g(x) >0 para x <2 e g(x) < 0 para x>2

.........0....2...3.....

f...|..+....-....-....+..

g..|..+....+...-.....-..

f*g|..+....-...+.....-... (sinais obtidos pela multiplicação das 2 primeiras linhas)

Logo

(x² - 3x) . (-x + 2) ≥0 para x <= 0 ou 2 <=x <= 3

D)Agora são três equações, mas a idéia ainda é a mesma:

f(x) = x² - 9 =0

x² = 9

x1 = 3

x2 = -3

g(x) =x - 1 = 0

x1 = 1

h(x) = x² + 5x= 0

x1 = -5

x2 = 0

..........-5...-3...0....1...3...

f......|.+....+...-....-...-.....+

g.....|.-.....-....-....-...+....+

h.....|.+....-....-...+...+...+

f*g*h|.-....+....-...+...-....+ (sinais obtidos pela multiplicação das 3 primeiras linhas)

Logo ( x² - 9) . ( x - 1) . (x² + 5x) ≤ 0 se x <= -5 ou -3 <=x <=0 ou 1 <= x <= 3

A) x < 3, x < -1, x < 2, x < 1/2.

B) x ≥ 2, x ≥ -3, x ≥ 1.

C) x ≥ 0, x ≥ 3, x ≥ 2.

D) x ≤ 3, x ≤ 1, x ≤ -5.