Não. São app independentes. Para você ter uma ideia: se você sair do Facebook, você continua longado no Messenger.

Vc continuara On, pos sao aplicativos independente um do outro tanto que vc pode entrar no facebook com uma conta e no menssenger com outra, pra fica off so desativando o bate papo no facebook e no messenger pos se nao continuara On .

OLÁ VIM SUA PERGUNTA olha se vc fica no pc ou no cel da no mesmo o que vc tem que fazer é comfigura para vc fica off , seja no pc ou no cel é sempres vc pode desatva a qualquer momentos

fis ate um vídeo sobre isso

https://www.youtube.com/watch?v=DOAQCEvzqZk&list=P...

Você tem que botar off no messenger também.