Seja A uma matriz 3x3 triangular superior,com todos os seus elementos da diagonal e acima dela distintos nao-?
nulos
A=|a**b**c|
|0**d**e|
|0**0**f|
Quais sao os autovalores e autovetores de A?
(algebra linear)
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Vamos lá
Primeiro vamos ver os autovalores.
É imediato que os autovalores são a, d e f (ou seja, os valores que aparecem na diagonal), pois a matriz é triangular.
Se quiser fazer a conta para conferir, é simples. Note que
det(x.I - A) = (x-a).(x-d).(x-f)
e como os autovalores são as raízes do polinômio det(x.I - A), é imediato que os autovalores são a, d e f.
Vamos aos autovetores.
Seja V = (r,s,t) um vetor não nulo, e suponha que
A V = a.V
então
a r + b s + c t = a r
d s + e t = a s
f t = a t
Como f≠a, temos que t = 0 e portanto a segunda equação se reduz a
d s = a s
Como d≠a , temos que s = 0. Ora, com t=s=0 a primeira equação se reduz a uma igualdade trivial
a r = a r
Assim os autovetores correspondentes ao autovalor a são da forma (r,0,0) , onde r≠0 (pois um autovetor não pode ser nulo).
Vamos agora ver os autovetores correspondentes ao autovalor d
Seja novamente V = (r,s,t) um vetor não nulo, e suponha agora que
A V = d.V
então
a r + b s + c t = d r
d s + e t = d s
f t = d t
Como f≠d, temos que t = 0 e portanto as duas primeiras equações se reduzem a
a r + b s = d r
d s = d s
Ora a segunda equação é uma identidade trivial e a primeira equação implica que
s= ((d-a)/b) r
(sabemos do enunciado que b≠0).
Logo os autovetores correspondentes ao autovalor d são da forma (r, (d-a)/b)r, 0) , onde r≠0 (pois um autovetor não pode ser nulo).
Vamos agora ver os autovetores correspondentes ao autovalor f.
Seja novamente V = (r,s,t) um vetor não nulo, e suponha agora que
A V = f.V
então
a r + b s + c t = f r
d s + e t = f s
f t = f t
A terceira equação é uma uma igualdade trivial e da segunda equação podemos deduzir
t = ((f-d)/e) s
(sabemos do enunciado que e≠0).
Substituindo o valor de t na primeira equação temos:
a r + b s + c ((f-d)/e) s = f r
logo
(be+cf-cd) s = e (f - a) r
logo, como sabemos do enunciado que e≠0 e f-a≠0, podemos escrever
r = ((be+cf-cd)/(ef-ea)) s
Logo os autovetores correspondentes ao autovalor f são da forma ( ((be+cf-cd)/(ef-ea))s, s, ((f-d)/e)s ) , onde s≠0 (pois um autovetor não pode ser nulo).