(VETORES) Determinar u.v + u.w + v.w, sabendo que u + v + w = 0(vetor nulo), |u|=2, |v|=3 e |w|=√5?
(VETORES) Determinar u.v + u.w + v.w, sabendo que u + v + w = 0(vetor nulo), |u|=2, |v|=3 e |w|=√5
considere tudo isso vetor!
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Observe:
1ª Maneira:
... ......→..→...→...→
Como u + v + w = 0 , então , ( u + v + w ).( u + v + w ).= = 0. fica;
0 = [ (u + v) + w ]²
(u + v)² + 2.(u + v).w + w² = 0
| u |² + 2.u.v + | v |² + 2.u.w + 2.v.w + | w |² = 0
| u |² + | v |² + | w |² + 2.( u.v + u.w + v.w ) = 0
Então;
2² + 3² + (√5)² + 2.( u.v + u.w + v.w ) = 0
4 + 9 + 5 + 2.( u.v + u.w + v.w ) = 0
2.( u.v + u.w + v.w ) = - 18
u.v + u.w + v.w = - 18/2
... ...... .....→→..→.→.→.→
R ▬▬▬► u.v + u.w + v.w = - 9
2ª Maneira:
→..→..→...→
υ + v + w = 0
.............................→
Multiplique tudo por w:, temos:
→.→...→.→...→..→..→.→
υ . w + v. w + w. w = 0. w
Como ;
→.→....▬►
w.w = || w ||² , então;
→.→...→.→....▬►....→
υ . w + v. w + || w ||² = 0
Mas;
.▬►
|| w ||² = √5 , substituindo, vem;
→.→...→.→......... ...→
υ. w + v. w + (√5)² = 0
→.→...→.→.... ...→
υ. w + v. w + 5 = 0
→.→...→.→
υ . w + v. w = - 5
.............................→
Multiplique tudo por v, temos:
→.→..→.→..→.→.→.→
υ . v + v . v + w .v = 0.v
Como ;
→.→...▬►
v . v = || v ||² , então;
→.→...→.→. .▬►....→
υ . v + w . v + || v ||² = 0
Mas;
.▬►
|| v ||² = 3 , substituindo, vem;
→.→..→.→....... .....→
υ . v + w .v + ( 3 )² = 0
→.→..→.→.... ...→
υ . v + w .v + 9 = 0
→.→...→.→
υ . v + w . v = - 9
.............................→
Multiplique tudo por υ, temos:
→.→..→.→...→.→...→.→
υ . υ + v . υ + w. υ = 0. υ
Como ;
→.→..▬►
υ.υ = || υ ||² , então;
→.→..→.→....▬►....→
v . υ + w. υ + || υ ||² = 0
Mas;
.▬►
|| υ ||² = 2 , substituindo, vem;
→.→..→.→........ ...→
v . υ + w.υ + ( 2 )² = 0
→.→.→.→.......→
v . υ+ w.υ + 4 = 0
→.→..→.→
v . υ + w.υ = - 4
Montando o sistema, fica;
..→.→..→.→
{ υ. w + v. w = - 5
{.→.→...→.→
{ υ. v + v. w = - 9
{.→.→...→.→
{ υ. v + υ . w = - 4
Fazendo:
→.→
υ . w = x
→.→
v . w = y
e
→.→
υ . v = z
Então;
{ x + y = - 5
{ z + y = - 9
{ z + x = - 4
{ x + y = - 5 ▬▬▬▬ ( l )
{ y + z = - 9 ▬▬▬▬ ( l l )
{ x + z = - 4 ▬▬▬▬ ( l l l )
De ( l l l ), vem;
x = - 4 - z
De ( l l ), temos:
y = - 9 - z
Substituindo em ( l ), fica;
- 4 - z - 9 - z = - 5
- 2z - 13 = - 5
- 2z = 13 - 5
- 2z = 8
z = - 4
Calculando o valor de x, temos:
x = - 4 - ( - 4 )
x = - 4 + 4
x = 0
Calculando o valor de y:
y = - 9 - ( - 4 )
y = - 9 + 4
y = - 5
Daí;
→.→
υ . w = 0
→.→
v . w = - 5
→.→
υ . v = - 4
Logo;
→→.→.→..→→
υ.v + υ.w + v.w = - 4 + 0 + (- 5 ) =
→→.→.→.→.→
υ.v + υ.w + v.w = - 4 - 5
→→.→.→.→.→
υ.v + υ.w + v.w = - 9 ◄▬▬▬▬▬▬ R
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Por favor não deixe a sua pergunta cair em votação e tomar cuidado com ´´alguns`` usuários que costumam pegar carona nas minhas respostas. Agradeço desde já!!!
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Piauí - Teresina , 21/09/2011
Hora 21 : 00
Temperatura 33º
Abraços !!!!!!!!!!
Fonte(s)
Minha...
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