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Sabemos que |u x v| = |u| |v| senθ, onde θ éo ângulo formado por u e v. Assim,

|u x v|² = |u|² |v|² sen²θ = |u|² |v|² (1 - cos²θ) (1)

Sabemos que u.v = |u| |v| cosθ.

Se um dos vetores for nulo, a igualdade é trivialmente satisfeita com 0 = 0. Supondo-se que nenhum seja nulo, temos que

cos²θ = (u.v)²/(|u|² |v|²)

Substituindo em (1), obtemos

|u x v|² = |u|² |v|² (1 - (u.v)²/(|u|² |v|²)) = |u|² |v|² - (u.v)²

que é a identidade de Lagrange.

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