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Devemos mostrar as seguintes definiçoes:

I - ∀u,v Є W ; u+v Є W

I I - ∀a Є R, u Є W ; au Є W

fazendo o teste:

(1,-1,2,2) Є W e (2,-2,1,1) Є W somando os dois ~~> (3,-3,3,3) Є W , ok! vamos mostrar para o caso geral.

a)Sejam, u=(x,y,z,t) e v=(x´,y´,z´,t´)

u=(x,y,z,t) ; x+y=0 ; z-t=0

v=(x´,y´,z´,t´); x´+y´=0 ; z´-t´ =0

I - u,v Є W

u+v=(x,y,z,t)+(x´,y´,z´,t´)

u+v=(x+x´,y+y´,z+z´,t+t´)

u+v=(x+x´)+(y+y´)+(z+z´)-(t+t´), pela associatividade

u+v=(x+y)+(x´+y´)+(z-t)+(z´-t´)=0 + 0 + 0 + 0 = 0, ok

u+v Є W

I I - a Є R, u Є W

u=(x,y,z,t) ; x+y=0 ; z-t=0

a.u=a(x,y,z,t)=(ax,ay,az,at)

a.u=ax+ay+az-at

a.u=a(x+y)+a(z-t)=a.0+a.0=0,ok

au Є W

Logo W é subespaço

b)fazendo o teste

(0,1,0,1) Є U + (1,1,0,3) Є = (1,2,0,4) Є U

v=(x,y,z,t) ; 2x+y-t=0 ; z=0

s=(x´,y´,z´,t´); 2x´+y´-t´=0 ; z´ =0

I - v,s Є U

v+s=(x,y,z,t) +(x´,y´,z´,t´)

v+s=(x+x´, y+y´, z+z´, t+t´)

v+s=2.(x+x´)+(y+y´)+(z+z´)-(t+t´) comutando

v+s=2.(x+x´)+(y+y´)-(t+t´)+(z+z´) associando

v+s=(2x+y-t)+(2x´+y´-t´)+ z + z´

v+s= 0 + 0 + 0 + 0 = 0 , ok

v+s Є U

I I - a Є R, v Є U

v=(x,y,z,t) ; 2x+y-t=0 ; z=0

a.v=a(x,y,z,t)=(ax,ay,az,at)

a.v=2ax+ay+az-at

a.v=2ax+ay-at+az

a.v=a(2x+y-t)+a(z)

a.v=a.0+a.0 = 0

a.v Є U

Logo U é subespaço