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Você deve se preocupar em aprender e não ter uma resolução para estampar em seu caderno. Vamos lá.

Tenha em mente:

(i) Um polinômio de terceiro grau com coeficientes reais, sempre terá pelo menos uma raiz real.

Por quê?

Porque quando:

a> 0 x --> - oo ==> P(x) --> - oo e x--> + oo ==> P(x) -->+ oo

a <0 x --> - oo ==> P(x) --> + oo e x--> + oo ==> P(x) --> - oo

Como a função P (x) é contínua para ela vir de um valor negativo para um positivo tem que passar por zero.

(ii) Se uma raiz de um polinômio de terceiro grau com coeficientes reais é complexa, existe uma raiz outra raiz complexa conjugada da primeira. Ou seja se a + bi é raiz, então a- bi também é raiz.

Por quê?

Porque se você dividir o polinômio por (x - xr), onde xr é a raiz real, você obtém um polinômio de segundo grau com coeficientes reais. Em um polinômio de segundo grau com coeficiente reais, se uma raiz é comlexa o seu conjugado também é raiz.

Então se x1 = 2 + 1 é raiz ==> x2 = 2 - i também é raiz.

x1 + x2 = 4

x1 . x2 = (2 + i). (2-i) = 4 - (i)^2 = 4 + 1

Usando as propriedades da equação de segundo grau.

S = -b/a e P = c/a e fazendo a =1 temos:

-b = 4 ==> b=4 e c = 5

Logo P(x) é divísivel por x² - 4x +5.

Resposta e)

Vamos mais além do pedido em seu problema.

Utilizando a propriedade que o produto das raízes de um polinômio

P(x) = anx^n + an-1 x^(n-1) +...+ a2x^2 + a1x + ao é:

P = (-1)^n . ao /an

P = (-1)3 . -15/1 = 15.

Como as duas raízescomplexas tem um produto de 5 temos:

15 = 5 xr ==> xr = 3

P(x) = (x² - 4x +5). (x-3)

Relembrando:

(i) Um polinômio de terceiro grau com coeficientes reais, sempre terá pelo menos uma raiz real.

(ii) (ii) Se uma raiz de um polinômio de terceiro grau com coeficientes reais é complexa, existe uma raiz outra raiz complexa conjugada da primeira. Ou seja se a + bi é raiz, então a- bi também é raiz.

Entenda esses dois conceitos, que é a parte mais importante do seu exercício.

letra b

Se p(x)= x³ - 7x² + 17x - 15 admite raiz complexa 2+i , então p(x) é divisivel por?

Se x'= 2+i ..então x" = 2 - i => tambem é raiz

P(x) é divisivel pelo produto : (x-2+i)(x-2-i) que desevolvido=>

Resposta:

e) x² - 4x +5