Identidade de Euler? e^(i*pi)=-1?
Bom minha dúvida é a seguinte: Eu realmente não entendo essa identidade.
Para começar o que significa um número ser elevado a "i"? Como se eleva um número i vezes?
outra coisa que me deixa com muita dúvida é a seguinte, tanto "e" como "pi", são números com infinitas casas decimais, como um ser elevado a outro da um número inteiro?
Ou seja e^(i*pi)+1=0
Analisando à internet achei uma pessoa que fez o seguinte cálculo:
e^(i*pi)+1=0
e^(i*pi)=-1
[e^(i*pi)]^2=-1^2
e^(2*i*pi)=1
e^(2*i*pi)*e=1*e
e^(2*i*pi +1) = e
2*i*pi+1=1
2*i*pi=1-1
2*i*pi=0
??
Sendo que 2 é diferente de 0, i é diferente de 0, pi é diferente de 0.
por favor alguém me explique?
Grato!
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e^iπ = -1
Para aceitar esta igualdade acima é necessário conhecer as séries e^x, cos x e sen x.
e^x = 1 + x/1! + x²/2! + x³/3! + x⁴/4!....
sen x = x + x³/3! - x⁵/5! - x⁵/7! + x⁹/9!.....
cos x = 1+ x²/2! - x⁴/4! - x⁶ /6! +x⁸/8!....
faça x=i π em e^x = 1 + x/1! + x²/2! + x³/3! + x⁴/4!....
e^iπ = 1+iπ/1!+i²π²/2!+ i³π³/3! +i⁴π⁴/4!,,,,,, . . .(substitua i²=-1 ; i³=-i; i⁴=1
Vai ficar assim:
e^iπ =cosπ + i senπ = -1 + 0 i = -1
Simples, não?
Ate a próxima , JARBAS
O Jarbas já explicou em parte. Na verdade, para todo complexo z, é usual defnirem-se as funções exponencial, seno e cosseno por
e^z = 1 + z/1! + z²/2! + z³/3! + z⁴/4!....
sen z = z + z³/3! - z⁵/5! - z⁵/7! + z⁹/9!.....
cos z = 1+ z²/2! - z⁴/4! - z⁶ /6! +z⁸/8!....
Séries deste tipo são denominadas de séries de potências. Nos casos dados, convergem absolutamente en em todo o plano compexo. Em razão disto, concluímos que, para todo complexo z, temos que
e^(iz)= cos z + i sen z
Fazendo-se z = π, temos a igualdade de Euler.
A segunda parte de sua questão é, obviamente, um sofisma. Contrariamente ao que acontece na reta real, no plano complexo a função exponencial não é bijetora. Na realidade, é uma função periódica com período i2π. Por isso, se e^z1 = e^z2, não podemos concluir (a menos que z1 e z2 sejam ambos reais) que z 1 = z2. O que podemos concluir é que z1 - z2 = i2kπ, sendo k um número inteiro (real).