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Olá, Rebeca!

Sejam x ∈ IR e f(x) = cos(arctg(x)). Seja θ = arctg(x); portanto: x = tg(θ), –π/2 < θ < π/2

Consideremos o círculo trigonométrico; a tangente de um ângulo é definida como a abscissa do ponto obtido pela intersecção entre a reta de coeficiente angular m = tg(θ) e a reta vertical de coordenada x = 1.

Tomemos um triângulo retângulo ABC, cujos vértices são:

• A = (0,0), ∠A = θ

• B = (1,0)

• C = (1,x)

Seus catetos medem:

• A̅B̅ = 1

• B̅C̅ = |x|

E sua hipotenusa mede:

• A̅C̅ = √(1 + x²)

Portanto:

cos(θ) = 1 ÷ √(1 + x²)

⇔ cos(arctg(x)) = 1 ÷ √(1 + x²)

⇔ f(x) = 1 ÷ √(1 + x²)

Queremos o conjunto-imagem de f(x); perceba que:

√(1 + x²) ≥ 1, ∀x ∈ IR

⇒ 0 < 1 ÷ √(1 + x²) ≤ 1

Portanto:

f(x) ∈ ]0,1]