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O vetor (3, 2, 1) é perpendicular ao plano. Dado um ponto (x0,y0, z0), a reta que passa por ele e é perpendicular ao plano é dada parametricamente em função do real t por

x = x0 + 3t

y = y0 + 2t

z = z0 + t

Para t = 0, obtemos o próprio (x0, y0, z0). A reta intersecta o plano para um t = t* tal que

3x + 2y + z = 0

3(x0 + 3t*) + 2(y0 + 2t*) + z0 + t* = 0

Resolvendo esta equação do 1o grau, encontramos

t* = - (3x0 + 2y0 + z0)/14

Assim, para alcançarmos o plano partindo de (x0, y0, z0), caminhamos t* sobre a reta que passa por este ponto e é perpendicular ao plano. Para obtermos a reflexão de (x0, y0, z0), caminhamos mais t*, ou seja, caminhamos 2t* a partir do ponto. Com isto, o ponto refletido é

x* = x0 - 3(3x0 + 2y0 + z0)/7 = 1/7(-2x0 -6y0 - 3z0)

Agora é só álgebra elementar. Fazendo o mesmo para as outras coordenadadas, chegamos às expressões do livro. Eu fiz com (x0, y0, z0), mas é claro que os nomes não tem importância. Assim, L transforma (x, y, z) em

L(x,y,z)=(1/7)(-2x-6y-3z, -6x+3y-2z, -3x-2y+6z).

Como o ponto passa pela origem, L é uma transformação linear.