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chamarei o simbolo da integral como se fosse uma barra ( "/")

/ xln3x dx

u=ln 3x

du=3/x dx

dv=xdx

v=/x dx==> v= x²/2

u.v - / v du

ln 3x .3 - / x²/2 3/x dx

3ln3x-3/2 / x²/x dx

3ln3x -3/2 x²/2

3ln3x - 3x²/4

3(lnx - x²/4)

vou te dar uma dica para quem chamar de " u"

usa se a ORDEM DA frase LIATE.

L LOGARITMA

I INVERSA TRIGONOMETRICA

A ALGEBRICA

T TRIGONOMETRICA

E EXPONENSIAL

u = ln3x

du = 1/3x * 3*dx = 1/x*dx

dv = x*dx

v = Sx*dx = (x^2)/2

Su*dv = u*v - Sv*du

Sx*ln3x*dx = ln(3x)*(x^2)/2 - S(x^2)/2*1/x*dx

= ln(3x)*(x^2)/2 - 1/2Sx*dx

= ln(3x)*(x^2)/2 - (1/2)*(x^2)/2

= (x^2/2)[ ln3x - 1/2 ] + C

u= ln (u) dv=1dx

du= 1/x v = x

integral por partes = u . v - integral v . du EMTAO TEMOS :

ln(u) . x - integral x . 1/x dx (como o x esta multiplicando o 1/x cortamos os dois x restando apenas a integral de dx= x)

FICANDO ASSIM ;

ln(u) . x -x SUBSTITUINDO O U PELO 3x

ln(3x) . x -x , ARRUMANDO

x (ln(3x) -1) + c